É verdadeiro ou falso?
(e) Se {a_n}_{n=1}^{infinito} é convergente, então {a_{2n}}_{n=1}^{\infty} e {a_{2 n+1}}_{n=1}^{\infty} são convergentes.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado diz: “Se a sequência {a_n}_{n=1}^{infinito} é convergente, então as subsequências e também são convergentes.” Esse exercício está relacionado ao estudo de sequências e suas propriedades de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência a_n converge para um limite L se, à medida que n cresce, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de L. Em termos matemáticos, para todo , existe um número natural N tal que para todo , a desigualdade é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos considerar as subsequências e . A subsequência pega todos os termos de índices pares da sequência original, enquanto pega todos os termos de índices ímpares.

Passo 4

Como a sequência original a_n converge para L, isso significa que, tanto para os índices pares quanto para os ímpares, os termos também devem se aproximar de L. Formalmente, para a subsequência , dado que , também teremos . O mesmo vale para a subsequência .

Passo 5

Portanto, se a sequência original converge, todas as suas subsequências, incluindo as de índices pares e ímpares, também convergem para o mesmo limite L.

Resposta

Verdadeiro.

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