É verdadeiro ou falso?
(e) Se
é convergente, então
e
são convergentes.
(e) Se
Passo 1
Vamos lá! O enunciado diz: “Se a sequência
é convergente, então as subsequências
e
também são convergentes.” Esse exercício está relacionado ao estudo de sequências e suas propriedades de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência
converge para um limite
se, à medida que
cresce, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de
. Em termos matemáticos, para todo
, existe um número natural
tal que para todo
, a desigualdade
é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos considerar as subsequências
e
. A subsequência
pega todos os termos de índices pares da sequência original, enquanto
pega todos os termos de índices ímpares.
Passo 4
Como a sequência original
converge para
, isso significa que, tanto para os índices pares quanto para os ímpares, os termos também devem se aproximar de
. Formalmente, para a subsequência
, dado que
, também teremos
. O mesmo vale para a subsequência
.
Passo 5
Portanto, se a sequência original converge, todas as suas subsequências, incluindo as de índices pares e ímpares, também convergem para o mesmo limite
.
Resposta
Verdadeiro.