Encontre as expressões dos coeficientes térmicos de um gás de Van der Waals em termos de R, T, V, a e b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as expressões dos coeficientes térmicos de um gás de Van der Waals em termos de , , , e . Isso envolve entender a equação de Van der Waals, que ajusta a equação dos gases ideais para levar em conta o volume das moléculas e as forças de atração entre elas. Para resolver, vamos precisar usar a derivada da equação de estado para achar os coeficientes térmicos, como o coeficiente de compressibilidade isoterma e o coeficiente de expansão térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de Van der Waals:
( P + aVm^2 )(Vm - b) = R T
Aqui, é a pressão, o volume molar, a temperatura, a constante dos gases, e e são constantes específicas do gás que ajustam para interações e volume das moléculas.

Passo 3

Para encontrar o coeficiente de compressibilidade isoterma ( kappaT = -1V ( partial Vpartial P )T ), usamos a fórmula:
P = R TVm - b - aVm^2
Isso significa que precisamos derivar em relação a mantendo constante. Vamos rearranjar a equação de Van der Waals para expressar :

Passo 4

Agora, derivamos ( partial Ppartial Vm )T = -R T(Vm - b)^2 + 2 aVm^3 em relação a ( partial Vmpartial P )T = 1( partial Ppartial Vm )T = 1-R T(Vm - b)^2 + 2 aVm^3 a temperatura constante:
Mas queremos , que é o inverso dessa derivada:

Passo 5

Substituímos isso na fórmula do coeficiente de compressibilidade:
kappaT = -1Vm cdot 1-R T(Vm - b)^2 + 2 aVm^3 = 1Vm cdot 1R T(Vm - b)^2 - 2 aVm^3

Passo 6

Agora, vamos calcular o coeficiente de expansão térmica ( alpha = 1V ( partial Vpartial T )P ), que é dado por:
Para isso, precisamos derivar em relação a mantendo constante.

Passo 7

Diferenciando a equação de Van der Waals em relação a partialpartial T ( ( P + aVm^2 )(Vm - b) ) = R a pressão constante:
( partial Ppartial T )V (Vm - b) + ( P + aVm^2 ) ( partial Vmpartial T )P = R
Expandindo a derivada:
( P + aVm^2 ) ( partial Vmpartial T )P = R
Como é constante, , então:

Passo 8

Isolando ( partial Vmpartial T )P = RP + aVm^2 :
P = R TVm - b - aVm^2
Usando a equação de Van der Waals para substituir ( partial Vmpartial T )P = RR TVm - b - aVm^2 + aVm^2 = RR TVm - b = Vm - bT :
Substituindo na expressão:

Passo 9

Finalmente, substituímos na fórmula do coeficiente de expansão térmica:
alpha = 1Vm cdot Vm - bT = Vm - bVm T

Resposta

Os coeficientes térmicos de um gás de Van der Waals são:
kappaT = 1Vm cdot 1R T(Vm - b)^2 - 2 aVm^3
e
alpha = Vm - bVm T

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