Encontre as expressões dos coeficientes térmicos de um gás de Van der Waals em termos de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as expressões dos coeficientes térmicos de um gás de Van der Waals em termos de , , , e . Isso envolve entender a equação de Van der Waals, que ajusta a equação dos gases ideais para levar em conta o volume das moléculas e as forças de atração entre elas. Para resolver, vamos precisar usar a derivada da equação de estado para achar os coeficientes térmicos, como o coeficiente de compressibilidade isoterma e o coeficiente de expansão térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de Van der Waals:
Aqui, é a pressão, o volume molar, a temperatura, a constante dos gases, e e são constantes específicas do gás que ajustam para interações e volume das moléculas.

Passo 3

Para encontrar o coeficiente de compressibilidade isoterma ( ), usamos a fórmula:
Isso significa que precisamos derivar em relação a mantendo constante. Vamos rearranjar a equação de Van der Waals para expressar :

Passo 4

Agora, derivamos em relação a a temperatura constante:
Mas queremos , que é o inverso dessa derivada:

Passo 5

Substituímos isso na fórmula do coeficiente de compressibilidade:

Passo 6

Agora, vamos calcular o coeficiente de expansão térmica ( ), que é dado por:
Para isso, precisamos derivar em relação a mantendo constante.

Passo 7

Diferenciando a equação de Van der Waals em relação a a pressão constante:
Expandindo a derivada:
Como é constante, , então:

Passo 8

Isolando :
Usando a equação de Van der Waals para substituir :
Substituindo na expressão:

Passo 9

Finalmente, substituímos na fórmula do coeficiente de expansão térmica:

Resposta

Os coeficientes térmicos de um gás de Van der Waals são:
e

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(a) Qual a pressão parcial do gás nitrogênio?
Uma amostra de uma mistura de gases que ocupa 200 mL a foi analisada e continha de nitrogênio. A pressão parcial do outro gás, hidrogênio, é 3,6atm. MM hidrogênio= MM nitrogênio= .
(b) Quantos gramas de hidrogênio há na mistura?