Encontre os extremos absolutos da função dada no conjunto fechado e limitado R indicado.
f(x, y) = x y^2; R é a região que satisfaz as desigualdades x ≥ 0, y ≥ 0, e x^2 + y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os extremos absolutos da função dentro da região . Essa região é definida pelas desigualdades , e . Basicamente, estamos trabalhando com uma função de duas variáveis e precisamos achar os pontos onde ela atinge seus maiores e menores valores dentro desse conjunto fechado e limitado. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente encontrar os pontos críticos e analisar as bordas da região.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região . Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Agora, igualamos ambas a zero:
Da primeira equação, temos que . Substituindo na segunda equação, temos:
Isso significa que, para qualquer valor de , se , as derivadas são zero. Portanto, todos os pontos da forma são pontos críticos dentro da região .

Passo 3

Agora, vamos analisar os pontos críticos que encontramos. Nos pontos , a função fica:
Então, em toda a linha dentro de , a função vale zero. Mas precisamos verificar se esses são realmente os menores valores ou se podem existir valores menores em outros lugares da região.

Passo 4

Em seguida, precisamos verificar os valores da função na borda da região . A borda é composta por três partes:
  1. e varia de a
  2. e varia de a
  3. A circunferência com e
Vamos analisar cada uma delas.

Passo 5

Primeira parte da borda:
Aqui, a função fica:
Então, em toda essa parte da borda, a função também vale zero.
Segunda parte da borda:
Já analisamos isso no passo 3, onde .
Então, até agora, todos os valores nessas duas partes da borda são zero. Agora, precisamos verificar a terceira parte.

Passo 6

Terceira parte da borda: Circunferência
Aqui, podemos expressar em função de (ou vice-versa). Vamos resolver para :
Agora, substituímos na função:
Queremos encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão para entre e .

Passo 7

Vamos chamar essa expressão de . Para achar os extremos, derivamos em relação a e igualamos a zero.
Calculando a derivada:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Fatorando :
Simplificando dentro do parênteses:
Igualando a zero:
As soluções são:
Como já analisamos, vamos considerar .

Passo 8

Com , encontramos usando :
Agora, calculamos o valor da função nesse ponto:
Esse é o valor máximo da função na borda.

Resposta

Os extremos absolutos da função na região são:
  • Máximo absoluto: no ponto
  • Mínimo absoluto: em todos os pontos onde , ou seja, ao longo do eixo na região .

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