Encontre os extremos absolutos da função dada no conjunto fechado e limitado
indicado.
;
é a região que satisfaz as desigualdades
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os extremos absolutos da função
dentro da região
. Essa região é definida pelas desigualdades
,
e
. Basicamente, estamos trabalhando com uma função de duas variáveis e precisamos achar os pontos onde ela atinge seus maiores e menores valores dentro desse conjunto fechado e limitado. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente encontrar os pontos críticos e analisar as bordas da região.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região
. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Agora, igualamos ambas a zero:
Da primeira equação, temos que
. Substituindo na segunda equação, temos:
Isso significa que, para qualquer valor de
, se
, as derivadas são zero. Portanto, todos os pontos da forma
são pontos críticos dentro da região
.
Passo 3
Agora, vamos analisar os pontos críticos que encontramos. Nos pontos
, a função fica:
Então, em toda a linha
dentro de
, a função vale zero. Mas precisamos verificar se esses são realmente os menores valores ou se podem existir valores menores em outros lugares da região.
Passo 4
Em seguida, precisamos verificar os valores da função na borda da região
. A borda é composta por três partes:
-
e varia de a -
e varia de a - A circunferência
com e
Vamos analisar cada uma delas.
Passo 5
Primeira parte da borda:
Aqui, a função fica:
Então, em toda essa parte da borda, a função também vale zero.
Segunda parte da borda:
Já analisamos isso no passo 3, onde
.
Então, até agora, todos os valores nessas duas partes da borda são zero. Agora, precisamos verificar a terceira parte.
Passo 6
Terceira parte da borda: Circunferência
Aqui, podemos expressar
em função de
(ou vice-versa). Vamos resolver para
:
Agora, substituímos na função:
Queremos encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão para
entre
e
.
Passo 7
Vamos chamar essa expressão de
. Para achar os extremos, derivamos
em relação a
e igualamos a zero.
Calculando a derivada:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Fatorando
:
Simplificando dentro do parênteses:
Igualando a zero:
As soluções são:
Como
já analisamos, vamos considerar
.
Passo 8
Com
, encontramos
usando
:
Agora, calculamos o valor da função nesse ponto:
Esse é o valor máximo da função na borda.
Resposta
Os extremos absolutos da função
na região
são:
- Máximo absoluto:
no ponto - Mínimo absoluto:
em todos os pontos onde , ou seja, ao longo do eixo na região .
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.
(valor 2 pontos)
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,
com orientação positiva. (Se resolver sem o Teorema de Green, a questão vale apenas 1 ponto).
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