Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo. (d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos relativos da função usando o teste da segunda derivada quando possível. Também vamos determinar os pontos de inflexão, onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, encontrar as assíntotas horizontais e verticais se existirem, e por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar usar derivados da função e entender conceitos como concavidade e assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Isso nos ajudará a identificar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe, que são candidatos a extremos relativos.
A derivada de usando a regra do produto é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Sabemos que nunca é zero, então precisamos resolver:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de .
Derivando :

Passo 5

Agora, vamos avaliar a segunda derivada no ponto crítico :
Como , isso indica que a função tem um máximo relativo em .

Passo 6

Em seguida, vamos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, onde a concavidade da função muda. Isso acontece onde a segunda derivada muda de sinal, resolvendo :
Novamente, nunca é zero, então:
Portanto, há um ponto de inflexão em .

Passo 7

Vamos determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo analisando o sinal de :
  • Para : , então → Concava para baixo.
  • Para : , então → Concava para cima.

Passo 8

Agora, vamos verificar as assíntotas da função .
Assíntota Horizontal:
Calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Portanto, há uma assíntota horizontal em .
Assíntota Vertical:
Não há divisões por zero na função , então não existem assíntotas verticais.

Passo 9

Por fim, vamos resumir as informações encontradas para fazer o esboço do gráfico:
  • Extremo Relativo: Máximo em .
  • Ponto de Inflexão: Em .
  • Concavidade:
    • Concava para baixo quando .
    • Concava para cima quando .
  • Assíntota Horizontal: .
  • Assíntota Vertical: Nenhuma.

Resposta

A função apresenta um máximo relativo em , um ponto de inflexão em , é côncava para baixo em e côncava para cima em . Possui uma assíntota horizontal em e não possui assíntotas verticais. O esboço do gráfico refletirá essas características.

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