Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo. (d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos relativos da função
usando o teste da segunda derivada quando possível. Também vamos determinar os pontos de inflexão, onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, encontrar as assíntotas horizontais e verticais se existirem, e por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar usar derivados da função e entender conceitos como concavidade e assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Isso nos ajudará a identificar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe, que são candidatos a extremos relativos.
A derivada de
usando a regra do produto é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Sabemos que
nunca é zero, então precisamos resolver:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de
.
Derivando
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a segunda derivada no ponto crítico
:
Como
, isso indica que a função tem um máximo relativo em
.
Passo 6
Em seguida, vamos encontrar os pontos de inflexão, ou seja, onde a concavidade da função muda. Isso acontece onde a segunda derivada muda de sinal, resolvendo
:
Novamente,
nunca é zero, então:
Portanto, há um ponto de inflexão em
.
Passo 7
Vamos determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo analisando o sinal de
:
- Para
: , então → Concava para baixo. - Para
: , então → Concava para cima.
Passo 8
Agora, vamos verificar as assíntotas da função
.
Assíntota Horizontal:
Calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Portanto, há uma assíntota horizontal em
.
Assíntota Vertical:
Não há divisões por zero na função
, então não existem assíntotas verticais.
Passo 9
Por fim, vamos resumir as informações encontradas para fazer o esboço do gráfico:
- Extremo Relativo: Máximo em
. - Ponto de Inflexão: Em
. - Concavidade:
- Concava para baixo quando
. - Concava para cima quando
.
- Concava para baixo quando
- Assíntota Horizontal:
. - Assíntota Vertical: Nenhuma.
Resposta
A função
apresenta um máximo relativo em
, um ponto de inflexão em
, é côncava para baixo em
e côncava para cima em
. Possui uma assíntota horizontal em
e não possui assíntotas verticais. O esboço do gráfico refletirá essas características.
Exercícios relacionados
Faça o que se pede: Se
, em que
e
, determine
quando
.
Faça o que se pede: Se
, em que
e
, determine
quando
e
.
Parametrize as curvas abaixo de acordo com as instruções dadas e esboce seu gráfico:
, com
.
Faça o que se pede em cada item: Sendo
, calcule
.