Faça o que se pede: Se u=x^4 y+y^2 z^3, em que x=r s e^t, y=r s^2 e^-t e z=r^2 s cdot sen(t), determine partial u / partial s quando r=2, s=1 e t=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, , onde . Estamos lidando com cálculo multivariável e vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais, já que depende de , e , que por sua vez dependem de . Vamos resolver passo a passo e depois encontrar o valor final quando , e .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar u = x^4 y + y^2 z^3 em termos de partial upartial s = partial upartial x cdot partial xpartial s + partial upartial y cdot partial ypartial s + partial upartial z cdot partial zpartial s , e :
Queremos encontrar . Como depende de , e , que dependem de , usamos a regra da cadeia para derivadas parciais:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Primeiro, calculemos partial upartial x = 4x^3 y :
partial upartial y = x^4 + 2y z^3
Agora, partial upartial z = 3y^2 z^2 :
E :

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar as derivadas de x = r s e^t , partial xpartial s = r e^t e y = r s^2 e^-t em relação a partial ypartial s = 2r s e^-t .
Dado que:
z = r^2 s cdot sin(t)
Então,
partial zpartial s = r^2 sin(t)
Dado que:
Então,
E dado que:
Então,

Passo 5

Agora substituímos todas as derivadas parciais na fórmula da regra da cadeia:
partial upartial s = (4x^3 y) cdot (r e^t) + (x^4 + 2y z^3) cdot (2r s e^-t) + (3y^2 z^2) cdot (r^2 sin(t))

Passo 6

Antes de calcular, vamos substituir os valores dados: x = 2 cdot 1 cdot 1 = 2 , y = 2 cdot 1^2 cdot 1 = 2 e z = 2^2 cdot 1 cdot 0 = 0 .
Primeiro, calculamos e , e .
Agora, calculamos , e nesses valores:

Passo 7

Vamos substituir partial upartial s = (4 cdot 2^3 cdot 2) cdot (2 cdot 1) + (2^4 + 2 cdot 2 cdot 0^3) cdot (2 cdot 1 cdot 1) + (3 cdot 2^2 cdot 0^2) cdot (2^2 cdot 0) , = (4 cdot 8 cdot 2) cdot 2 + (16 + 0) cdot 2 + (12 cdot 0) cdot 4 , = (64) cdot 2 + 16 cdot 2 + 0 , = 128 + 32 + 0 , , , e na expressão de :
Simplificando cada termo:

Resposta

partial upartial s = 160

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