Faça o que se pede: Se
, em que
e
, determine
quando
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
, onde
. Estamos lidando com cálculo multivariável e vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais, já que
depende de
,
e
, que por sua vez dependem de
. Vamos resolver passo a passo e depois encontrar o valor final quando
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em termos de
,
e
:
Queremos encontrar
. Como
depende de
,
e
, que dependem de
, usamos a regra da cadeia para derivadas parciais:
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Primeiro, calculemos
:
Agora,
:
E
:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar as derivadas de
,
e
em relação a
.
Dado que:
Então,
Dado que:
Então,
E dado que:
Então,
Passo 5
Agora substituímos todas as derivadas parciais na fórmula da regra da cadeia:
Passo 6
Antes de calcular, vamos substituir os valores dados:
,
e
.
Primeiro, calculamos
e
, e
.
Agora, calculamos
,
e
nesses valores:
Passo 7
Vamos substituir
,
,
,
,
,
, e
na expressão de
:
Simplificando cada termo: