Faça o que se pede: Se , em que e , determine quando e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, , onde . Estamos lidando com cálculo multivariável e vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais, já que depende de , e , que por sua vez dependem de . Vamos resolver passo a passo e depois encontrar o valor final quando , e .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em termos de , e : Queremos encontrar . Como depende de , e , que dependem de , usamos a regra da cadeia para derivadas parciais:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias. Primeiro, calculemos : Agora, : E :

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar as derivadas de , e em relação a . Dado que: Então, Dado que: Então, E dado que: Então,

Passo 5

Agora substituímos todas as derivadas parciais na fórmula da regra da cadeia:

Passo 6

Antes de calcular, vamos substituir os valores dados: , e . Primeiro, calculamos e , e . Agora, calculamos , e nesses valores:

Passo 7

Vamos substituir , , , , , , e na expressão de : Simplificando cada termo:

Resposta

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Faça o que se pede: Se , em que e , determine quando .
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo. (d)