Faça o que se pede: Se z = x^2 * y + 3 * x * y^4, em que x = sen(2 t) e y = cos(t), determine d z / d t quando t = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que depende de e , onde e são, por sua vez, funções de . Especificamente:
E sabemos que:
Queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , quando . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em termos de . Substituindo e na expressão de :
Agora, precisamos encontrar . Para isso, aplicaremos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a soma das derivadas em relação a cada variável multiplicada pela derivada dessa variável em relação a .

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, identifiquemos as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia à função :
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 5

Substituindo e , e suas derivadas no passo anterior:

Passo 6

Agora, vamos calcular no ponto .
Primeiro, calculamos os valores das funções trigonométricas em :
Substituindo esses valores na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A derivada quando é igual a 6.

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