Faça o que se pede: Se , em que e , determine quando .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que depende de e , onde e são, por sua vez, funções de . Especificamente:
E sabemos que:
Queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , quando . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar em termos de . Substituindo e na expressão de :
Agora, precisamos encontrar . Para isso, aplicaremos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a soma das derivadas em relação a cada variável multiplicada pela derivada dessa variável em relação a .
Passo 3
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, identifiquemos as derivadas de e em relação a :
Passo 4
Agora, aplicamos a regra da cadeia à função :
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Substituindo e , e suas derivadas no passo anterior:
Passo 6
Agora, vamos calcular no ponto .
Primeiro, calculamos os valores das funções trigonométricas em :