Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo. (a)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar os extremos relativos da função
utilizando o teste da segunda derivada, se possível, ou então o teste da primeira derivada. Além disso, devemos determinar os pontos de inflexão, as regiões onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, identificar possíveis assíntotas horizontais ou verticais e, por fim, esboçar o gráfico da função. Para resolver isso, vamos precisar das derivadas da função, conhecimentos sobre derivadas e concavidade, e entender como identificar assíntotas.
Passo 2
Vamos começar encontrando a primeira derivada da função, que nos ajudará a identificar os pontos críticos para determinar os extremos relativos. A primeira derivada de
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver
:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Como
, a equação possui duas raízes reais:
Portanto, as soluções são:
Passo 4
Agora que encontramos os pontos críticos
e
, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de
:
Passo 5
Vamos aplicar o teste da segunda derivada nos pontos críticos:
Para
:
Como
, a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo relativo.
Para
:
Como
, a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando um máximo relativo.
Passo 6
Agora, vamos determinar os pontos de inflexão, onde a concavidade da função muda. Para isso, igualamos a segunda derivada a zero:
Então, há um ponto de inflexão em
.
Passo 7
Para identificar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, analisaremos o sinal da segunda derivada:
- Para
:
Ou seja, côncavo para baixo.
- Para
:
Ou seja, côncavo para cima.
Passo 8
Agora, vamos procurar por assíntotas. Para funções polinomiais como
, não existem assíntotas verticais ou horizontais, pois polinômios são funções contínuas e definidas para todo
, e o comportamento no infinito é governado pelo termo de maior grau, o que implica que não há horizontais ou verticais.
Passo 9
Finalmente, vamos resumir todas as informações para esboçar o gráfico da função:
-
Extremos relativos:
- Mínimo relativo em
- Máximo relativo em
- Mínimo relativo em
-
Ponto de inflexão em
-
Concavidade:
- Côncavo para baixo em
- Côncavo para cima em
- Côncavo para baixo em
-
Não há assíntotas horizontais ou verticais.
Resposta
Os extremos relativos da função
são um mínimo relativo em
e um máximo relativo em
. Há um ponto de inflexão em
. O gráfico é côncavo para baixo para
e côncavo para cima para
. Não existem assíntotas horizontais ou verticais. O esboço do gráfico deve refletir esses pontos e comportamentos.
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para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
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