Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo. (a)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar os extremos relativos da função utilizando o teste da segunda derivada, se possível, ou então o teste da primeira derivada. Além disso, devemos determinar os pontos de inflexão, as regiões onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, identificar possíveis assíntotas horizontais ou verticais e, por fim, esboçar o gráfico da função. Para resolver isso, vamos precisar das derivadas da função, conhecimentos sobre derivadas e concavidade, e entender como identificar assíntotas.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada da função, que nos ajudará a identificar os pontos críticos para determinar os extremos relativos. A primeira derivada de é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver :
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Como , a equação possui duas raízes reais:
Portanto, as soluções são:

Passo 4

Agora que encontramos os pontos críticos e , vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de :

Passo 5

Vamos aplicar o teste da segunda derivada nos pontos críticos:
Para :
Como , a função é côncava para cima nesse ponto, indicando um mínimo relativo.
Para :
Como , a função é côncava para baixo nesse ponto, indicando um máximo relativo.

Passo 6

Agora, vamos determinar os pontos de inflexão, onde a concavidade da função muda. Para isso, igualamos a segunda derivada a zero:
Então, há um ponto de inflexão em .

Passo 7

Para identificar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo, analisaremos o sinal da segunda derivada:
  • Para :
Ou seja, côncavo para baixo.
  • Para :
Ou seja, côncavo para cima.

Passo 8

Agora, vamos procurar por assíntotas. Para funções polinomiais como , não existem assíntotas verticais ou horizontais, pois polinômios são funções contínuas e definidas para todo , e o comportamento no infinito é governado pelo termo de maior grau, o que implica que não há horizontais ou verticais.

Passo 9

Finalmente, vamos resumir todas as informações para esboçar o gráfico da função:
  • Extremos relativos:
    • Mínimo relativo em
    • Máximo relativo em
  • Ponto de inflexão em
  • Concavidade:
    • Côncavo para baixo em
    • Côncavo para cima em
  • Não há assíntotas horizontais ou verticais.

Resposta

Os extremos relativos da função são um mínimo relativo em e um máximo relativo em . Há um ponto de inflexão em . O gráfico é côncavo para baixo para e côncavo para cima para . Não existem assíntotas horizontais ou verticais. O esboço do gráfico deve refletir esses pontos e comportamentos.

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