Encontre a integral indefinida para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar a integral indefinida de . Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é muito útil quando enfrentamos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para , percebemos que está elevado a uma potência e dentro dele temos , que é derivado de .
Então, vamos fazer a substituição:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Calculando a derivada:

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:
Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a . Lembrando que:
onde .
No nosso caso, :

Passo 6

Voltando à nossa integral:
onde é uma constante de integração (pode absorver o em uma nova constante).

Passo 7

Agora, substituímos de volta para termos em :
Portanto:

Resposta

A integral indefinida é:
onde é a constante de integração.

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Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo. (a)
Encontre a integral indefinida para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
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(d) Use e na parte (b) para mostrar que é crescente.