Encontre a integral indefinida integral f(x) d x para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
f(x)=x^2(5-x^3)^-2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar a integral indefinida de . Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é muito útil quando enfrentamos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para u = 5 - x^3 , percebemos que está elevado a uma potência e dentro dele temos , que é derivado de .
Então, vamos fazer a substituição:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -3x^2 em relação a du = -3x^2 dx para substituir x^2 dx = -13 du na integral. Calculando a derivada:

Passo 4

Vamos substituir integral x^2(5 - x^3)^-2 dx = integral (5 - x^3)^-2 cdot x^2 dx e = integral u^-2 cdot (-13) du na integral original:
= -13 integral u^-2 du
Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^n du = u^n+1n+1 + C em relação a integral u^-2 du = u^-1-1 + C = -u^-1 + C . Lembrando que:
onde .
No nosso caso, :

Passo 6

Voltando à nossa integral:
-13 integral u^-2 du = -13 ( -u^-1 + C )
= 13 u^-1 + C'
onde é uma constante de integração (pode absorver o em uma nova constante).

Passo 7

Agora, substituímos u^-1 = 1u = 15 - x^3 de volta para termos em 13 u^-1 + C' = 13(5 - x^3) + C' :
Portanto:

Resposta

A integral indefinida é:
integral x^2(5 - x^3)^-2 dx = 13(5 - x^3) + C
onde é a constante de integração.

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