Encontre a integral indefinida
para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar a integral indefinida de
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é muito útil quando enfrentamos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, identificamos uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para
, percebemos que
está elevado a uma potência e dentro dele temos
, que é derivado de
.
Então, vamos fazer a substituição:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Calculando a derivada:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
. Lembrando que:
onde
.
No nosso caso,
:
Passo 6
Voltando à nossa integral:
onde
é uma constante de integração (pode absorver o
em uma nova constante).
Passo 7
Agora, substituímos
de volta para termos em
:
Portanto:
Resposta
A integral indefinida é:
onde
é a constante de integração.
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Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo. (a)
Encontre a integral indefinida
para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
Encontre a integral indefinida
para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
(d) Use
e
na parte (b) para mostrar que
é crescente.