Encontre a integral indefinida
para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
Passo 1
Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar a integral indefinida de
. A matéria que a gente vai usar é cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição. Vamos precisar transformar a função para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
. A ideia é usar substituição, onde a gente escolhe uma parte da função para chamar de
.
Passo 3
Vamos definir
. Agora, precisamos achar a derivada de
em relação a
, que é
. Daí, isolamos
:
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Isso simplifica a nossa integral para uma forma mais fácil de resolver.
Passo 5
Agora, vamos integrar
. A regra básica da integração nos diz que
, onde
é a constante de integração. Aqui,
, então:
Passo 6
Voltando à nossa integral original:
Agora, substituímos
de volta por
:
Resposta
A integral indefinida é:
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Encontre a integral indefinida
para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo. (a)
(d) Use
e
na parte (b) para mostrar que
é crescente.