Encontre a integral indefinida para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar a integral indefinida de . A matéria que a gente vai usar é cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição. Vamos precisar transformar a função para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização: . A ideia é usar substituição, onde a gente escolhe uma parte da função para chamar de .

Passo 3

Vamos definir . Agora, precisamos achar a derivada de em relação a , que é . Daí, isolamos : .

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:
Isso simplifica a nossa integral para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 5

Agora, vamos integrar . A regra básica da integração nos diz que , onde é a constante de integração. Aqui, , então:

Passo 6

Voltando à nossa integral original:
Agora, substituímos de volta por :

Resposta

A integral indefinida é:

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Encontre a integral indefinida para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo. (a)
(d) Use e na parte (b) para mostrar que é crescente.
, onde é a região limitada pelo cardioide e fora do círculo