Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os extremos relativos da função usando o teste da segunda derivada ou, se não der, o teste da primeira derivada. Também precisamos identificar pontos de inflexão, concavidade do gráfico e as assíntotas possíveis. Por fim, vamos esboçar o gráfico. Para isso, vamos precisar de cálculo diferencial, especificamente derivadas primeiras e segundas, e conhecimentos sobre limites para as assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos críticos onde a primeira derivada é zero ou não existe. Aqui, .
Como nunca é zero para nenhum valor de , igualamos :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Vamos usar a segunda derivada para verificar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo. Primeiro, encontramos a segunda derivada.
Derivando :

Passo 5

Agora, avaliamos em :
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que é um ponto de máximo relativo.

Passo 6

Vamos agora encontrar pontos de inflexão, onde a concavidade do gráfico muda. Para isso, resolvemos :
Como nunca é zero, igualamos :
Então, temos um ponto de inflexão em .

Passo 7

Vamos determinar onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo:
  • Para , escolhendo :
ô
  • Para , escolhendo :
ô

Passo 8

Agora, vamos encontrar as assíntotas.
Assíntota Vertical:
São valores de onde a função não está definida. Nossa função está definida para todos os , então não há assíntotas verticais.
Assíntota Horizontal:
Calculamos os limites e .
á
ã
Então, temos uma assíntota horizontal em .
Assíntota Oblíqua:
Para verificar, assumimos que existe uma linha da forma que a função se aproxima quando .
Calculamos:
Como o limite é zero, não há inclinação, o que confirma que não há assíntota oblíqua.

Passo 9

Por fim, vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
  • Ponto de máximo relativo em .
  • Ponto de inflexão em .
  • Concavidade para baixo em .
  • Concavidade para cima em .
  • Assíntota horizontal em .
  • Não há assíntotas verticais ou oblíquas.

Resposta

A função possui um máximo relativo em , um ponto de inflexão em , é côncava para baixo quando e côncava para cima quando . Além disso, possui uma assíntota horizontal em e não possui assíntotas verticais ou oblíquas.

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