Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os extremos relativos da função
usando o teste da segunda derivada ou, se não der, o teste da primeira derivada. Também precisamos identificar pontos de inflexão, concavidade do gráfico e as assíntotas possíveis. Por fim, vamos esboçar o gráfico. Para isso, vamos precisar de cálculo diferencial, especificamente derivadas primeiras e segundas, e conhecimentos sobre limites para as assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos críticos onde a primeira derivada é zero ou não existe. Aqui,
.
Como
nunca é zero para nenhum valor de
, igualamos
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos usar a segunda derivada para verificar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo. Primeiro, encontramos a segunda derivada.
Derivando
:
Passo 5
Agora, avaliamos
em
:
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que
é um ponto de máximo relativo.
Passo 6
Vamos agora encontrar pontos de inflexão, onde a concavidade do gráfico muda. Para isso, resolvemos
:
Como
nunca é zero, igualamos
:
Então, temos um ponto de inflexão em
.
Passo 7
Vamos determinar onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo:
- Para
, escolhendo :
- Para
, escolhendo :
Passo 8
Agora, vamos encontrar as assíntotas.
Assíntota Vertical:
São valores de
onde a função não está definida. Nossa função
está definida para todos os
, então não há assíntotas verticais.
Assíntota Horizontal:
Calculamos os limites
e
.
Então, temos uma assíntota horizontal em
.
Assíntota Oblíqua:
Para verificar, assumimos que existe uma linha da forma
que a função se aproxima quando
.
Calculamos:
Como o limite é zero, não há inclinação, o que confirma que não há assíntota oblíqua.
Passo 9
Por fim, vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
- Ponto de máximo relativo em
. - Ponto de inflexão em
. - Concavidade para baixo em
. - Concavidade para cima em
. - Assíntota horizontal em
. - Não há assíntotas verticais ou oblíquas.
Resposta
A função
possui um máximo relativo em
, um ponto de inflexão em
, é côncava para baixo quando
e côncava para cima quando
. Além disso, possui uma assíntota horizontal em
e não possui assíntotas verticais ou oblíquas.
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(a)
(a)
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