Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
(a) y = x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a n-ésima derivada da função . A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente o conceito de derivadas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra de derivação de potências várias vezes até chegar à n-ésima derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra de derivação para potências. Se temos uma função , onde é qualquer número real, a sua primeira derivada é dada por:
Isso significa que a derivada de é vezes elevado a .

Passo 3

Agora, aplicando essa regra repetidamente, vamos calcular as primeiras derivadas da função :
E assim por diante, até a n-ésima derivada.

Passo 4

Percebemos um padrão aqui. A cada derivada, multiplicamos pelos próximos números inteiros decrescentes e diminuímos o expoente de em 1. Portanto, na n-ésima derivada, todas as potências de terão sido eliminadas, já que o expoente será zero. Ficamos apenas com o produto de todos esses números.

Passo 5

O produto de todos esses números decrescentes de até 1 é conhecido como fatorial de , representado por . Além disso, a derivada de uma constante é zero, então qualquer derivada além da n-ésima será zero.

Resposta

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