Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a n-ésima derivada da função . A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente o conceito de derivadas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra de derivação de potências várias vezes até chegar à n-ésima derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra de derivação para potências. Se temos uma função , onde é qualquer número real, a sua primeira derivada é dada por:
Isso significa que a derivada de é vezes elevado a .

Passo 3

Agora, aplicando essa regra repetidamente, vamos calcular as primeiras derivadas da função :
E assim por diante, até a n-ésima derivada.

Passo 4

Percebemos um padrão aqui. A cada derivada, multiplicamos pelos próximos números inteiros decrescentes e diminuímos o expoente de em 1. Portanto, na n-ésima derivada, todas as potências de terão sido eliminadas, já que o expoente será zero. Ficamos apenas com o produto de todos esses números.

Passo 5

O produto de todos esses números decrescentes de até 1 é conhecido como fatorial de , representado por . Além disso, a derivada de uma constante é zero, então qualquer derivada além da n-ésima será zero.

Resposta

Exercícios relacionados

Resolva os problemas abaixo:
(f) Um balão de ar quente, que sobe na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto da decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é , o ângulo aumenta a uma taxa de 0,14 rad/min. A que velocidade o balão sobe nesse momento?
Nos exercícios abaixo, encontre por derivação implícita.
(f) .
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
(e)