Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a n-ésima derivada da função
. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente o conceito de derivadas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra de derivação de potências várias vezes até chegar à n-ésima derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra de derivação para potências. Se temos uma função
, onde
é qualquer número real, a sua primeira derivada é dada por:
Isso significa que a derivada de
é
vezes
elevado a
.
Passo 3
Agora, aplicando essa regra repetidamente, vamos calcular as primeiras derivadas da função
:
E assim por diante, até a n-ésima derivada.
Passo 4
Percebemos um padrão aqui. A cada derivada, multiplicamos pelos próximos números inteiros decrescentes e diminuímos o expoente de
em 1. Portanto, na n-ésima derivada, todas as potências de
terão sido eliminadas, já que o expoente será zero. Ficamos apenas com o produto de todos esses números.
Passo 5
O produto de todos esses números decrescentes de
até 1 é conhecido como fatorial de
, representado por
. Além disso, a derivada de uma constante é zero, então qualquer derivada além da n-ésima será zero.