Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a n-ésima derivada da função
. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente o conceito de derivadas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra de derivação de potências várias vezes até chegar à n-ésima derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra de derivação para potências. Se temos uma função
, onde
é qualquer número real, a sua primeira derivada é dada por:
Isso significa que a derivada de
é
vezes
elevado a
.
Passo 3
Agora, aplicando essa regra repetidamente, vamos calcular as primeiras derivadas da função
:
E assim por diante, até a n-ésima derivada.
Passo 4
Percebemos um padrão aqui. A cada derivada, multiplicamos pelos próximos números inteiros decrescentes e diminuímos o expoente de
em 1. Portanto, na n-ésima derivada, todas as potências de
terão sido eliminadas, já que o expoente será zero. Ficamos apenas com o produto de todos esses números.
Passo 5
O produto de todos esses números decrescentes de
até 1 é conhecido como fatorial de
, representado por
. Além disso, a derivada de uma constante é zero, então qualquer derivada além da n-ésima será zero.
Resposta
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Resolva os problemas abaixo:
(f) Um balão de ar quente, que sobe na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto da decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é , o ângulo aumenta a uma taxa de 0,14 rad/min. A que velocidade o balão sobe nesse momento?
(f) Um balão de ar quente, que sobe na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto da decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é
Nos exercícios abaixo, encontre
por derivação implícita.
(f) .
(f)
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
(e)
(e)