Resolva os problemas abaixo:
(f) Um balão de ar quente, que sobe na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto da decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é pi / 4, o ângulo aumenta a uma taxa de 0,14 rad/min. A que velocidade o balão sobe nesse momento?

Passo 1

Vamos resumir o que está acontecendo na questão. Temos um balão de ar quente que está subindo na vertical a partir do solo. Um telêmetro está posicionado a 500 pés de distância do ponto onde o balão decola. No momento que estamos analisando, o ângulo de elevação do telêmetro em relação ao balão é de pi / 4 (ou 45 graus) e esse ângulo está aumentando a uma taxa de 0,14 radianos por minuto. Nosso objetivo é descobrir a que velocidade o balão está subindo nesse exato momento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o ângulo de elevação, a distância do telêmetro e a altura do balão. Imagine um triângulo retângulo onde:
  • A base do triângulo tem 500 pés (a distância horizontal entre o telêmetro e o ponto de decolagem).
  • A altura do triângulo é a altura do balão acima do solo, que queremos descobrir.
  • O ângulo de elevação theta é o ângulo entre a base do triângulo e a linha que vai do telêmetro ao balão.

Passo 3

Sabemos que a tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é igual ao cateto oposto dividido pelo cateto adjacente. Aqui, isso fica:
ãâ
Onde h é a altura do balão. Podemos rearranjar essa equação para encontrar h:

Passo 4

Agora, queremos descobrir a velocidade com que o balão está subindo, ou seja, a taxa de variação da altura h em relação ao tempo, denotada por . Para isso, vamos derivar a equação de h em relação ao tempo t.
Sabemos que a derivada de em relação a theta é . Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 5

Substituímos os valores que conhecemos na equação. Sabemos que no momento em questão:
Primeiro, vamos calcular . Sabemos que , e . Então,
Portanto,

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na equação da taxa de variação:
Calculando isso:

Resposta

O balão está subindo a uma velocidade de 140 pés por minuto nesse momento.

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