Resolva os problemas abaixo:
(f) Um balão de ar quente, que sobe na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto da decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é
, o ângulo aumenta a uma taxa de 0,14 rad/min. A que velocidade o balão sobe nesse momento?
(f) Um balão de ar quente, que sobe na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto da decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é
Passo 1
Vamos resumir o que está acontecendo na questão. Temos um balão de ar quente que está subindo na vertical a partir do solo. Um telêmetro está posicionado a 500 pés de distância do ponto onde o balão decola. No momento que estamos analisando, o ângulo de elevação do telêmetro em relação ao balão é de
(ou 45 graus) e esse ângulo está aumentando a uma taxa de 0,14 radianos por minuto. Nosso objetivo é descobrir a que velocidade o balão está subindo nesse exato momento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o ângulo de elevação, a distância do telêmetro e a altura do balão. Imagine um triângulo retângulo onde:
- A base do triângulo tem 500 pés (a distância horizontal entre o telêmetro e o ponto de decolagem).
- A altura do triângulo é a altura do balão acima do solo, que queremos descobrir.
- O ângulo de elevação
é o ângulo entre a base do triângulo e a linha que vai do telêmetro ao balão.
Passo 3
Sabemos que a tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é igual ao cateto oposto dividido pelo cateto adjacente. Aqui, isso fica:
Onde
é a altura do balão. Podemos rearranjar essa equação para encontrar
:
Passo 4
Agora, queremos descobrir a velocidade com que o balão está subindo, ou seja, a taxa de variação da altura
em relação ao tempo, denotada por
. Para isso, vamos derivar a equação de
em relação ao tempo
.
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Substituímos os valores que conhecemos na equação. Sabemos que no momento em questão:
Primeiro, vamos calcular
. Sabemos que
, e
. Então,
Portanto,
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na equação da taxa de variação:
Calculando isso:
Resposta
O balão está subindo a uma velocidade de 140 pés por minuto nesse momento.