Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral: integral cos raizx d x

Passo 1

Vamos calcular a integral integral cos raizx , dx. Para isso, vamos usar duas técnicas: substituição e integração por partes. A substituição vai ajudar a simplificar a expressão, e a integração por partes vai nos permitir resolver a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar a integral. Seja u = raizx, ou seja, u = x^1/2. Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos:
du = 12 x^-1/2 dx Rightarrow dx = 2 raizx , du = 2u , du
Agora, substituímos u e dx na integral original:
integral cos raizx , dx = integral cos u cdot 2u , du = 2 integral u cos u , du

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral 2 integral u cos u , du usando integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = u (aqui, u já está definido como raizx, mas agora é a variável de integração)
  • dv = cos u , du
Calculando du e v:
du = du
v = integral cos u , du = sin u

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u cos u , du = u sin u - integral sin u , du = u sin u + cos u + C
Multiplicando por 2:
2 integral u cos u , du = 2u sin u + 2 cos u + C

Resposta

A integral integral cos raizx , dx é igual a 2 raizx sin raizx + 2 cos raizx + C, onde C é a constante de integração.

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