Encontre f^prime :
(b) f(x)=tg x e^x+x^3 sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente usando a regra do produto, que é essencial quando temos funções multiplicadas entre si. Vamos precisar conhecer as derivadas de funções trigonométricas como e , bem como a derivada de e de polinômios como .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira parte da função: u' = sec^2 x (derivada de tan x) . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda.
Então, seja v' = e^x (derivada de e^x) e ddx(u cdot v) = u' cdot v + u cdot v' = sec^2 x cdot e^x + tan x cdot e^x :
Aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda parte da função: u' = 3x^2 (derivada de x^3) . Novamente, usamos a regra do produto. Seja v' = cos x (derivada de sin x) e ddx(u cdot v) = u' cdot v + u cdot v' = 3x^2 cdot sin x + x^3 cdot cos x :
Aplicando a regra do produto:

Resposta

Somando as derivadas das duas partes, temos a derivada total da função:
f'(x) = sec^2 x cdot e^x + tan x cdot e^x + 3x^2 cdot sin x + x^3 cdot cos x

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