Encontre .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada de no ponto . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre como derivar funções que são frações envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a Regra do Quociente e lembrar das derivadas básicas das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada de em relação a , denotada por , nos dá a taxa de variação de em relação a .

Passo 3

A função que queremos derivar é . Para derivar uma fração, usamos a Regra do Quociente, que diz:
onde e .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de e :

  • A derivada de é , então:

  • A derivada de em relação a é 1, então:

Passo 5

Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Simplificando, temos:

Passo 6

Vamos substituir na expressão acima. Primeiro, calculamos os valores trigonométricos em :
  • (porque e , então )
Substituindo na expressão da derivada:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Derive cada função abaixo (se possível, simplifique a função ou derivada)
Encontre as derivadas de ordem superior dos exercícios a seguir
sabendo que
Encontre as derivadas de ordem superior dos exercícios a seguir
sabendo que
Derive cada função abaixo (se possível, simplifique a função ou derivada)