Encontre f. f'(x) = 2x \cdots 3 / x^c, x > 0, f(1) = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função sabendo que a sua derivada é para , e que . Aqui, estamos lidando com cálculo, especificamente com derivadas e integrais. Vamos precisar usar o conceito de integral para descobrir a função original a partir da sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da derivada para facilitar a integração. A derivada dada é:
Podemos simplificar isso utilizando propriedades das potências:
Então, agora temos uma forma mais simples: . Nosso próximo passo é encontrar a função integrando .

Passo 3

Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Lembrando que a integral de é , onde é a constante de integração. Aplicando isso à nossa integral:

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor da constante . Substituindo na expressão de :
Como elevado a qualquer potência é , fica:
Resolvendo para :

Resposta

A função é dada por:

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