Encontre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primeira e a segunda derivada da função
. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, mais especificamente sobre a regra do quociente e a derivação de funções racionais. Vamos precisar aplicar essas regras passo a passo para chegar nas derivadas que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é usada quando você tem uma função que é um quociente de duas outras funções. A regra diz que:
Aqui, nossa
é
e
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente com essas derivadas:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Então, a primeira derivada fica:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, vamos derivar
. Nossa expressão para
também é um quociente, então vamos aplicar novamente a regra do quociente. Vamos identificar:
Passo 7
Aplicando a regra do quociente para
:
Passo 8
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Vamos fatorar
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, o numerador fica:
Passo 9
Colocando tudo junto, a segunda derivada fica:
Resposta
As derivadas são:
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Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
;
Derive a função.
Encontre
e
.