Mostre os seguintes itens abaixo
arctan'(x) = 1/(1+x^2)

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a derivada da função arctan(x) é igual a . Isso faz parte do estudo de derivadas, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para entender como as funções mudam. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de derivada e algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite da razão de incremento da função quando o incremento de tende a zero. Matemáticamente, isso é escrito como:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à função . Então, a derivada será:

Passo 4

Para simplificar esse limite, precisamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona a diferença de arctangentes. Sabemos que:
Vamos aplicar isso com e :

Passo 5

Substituindo de volta na definição da derivada:
Quando tende a zero, a expressão também tende a zero. Sabemos que para valores pequenos de , . Então:

Passo 6

Substituindo essa aproximação no limite:

Resposta

Portanto, mostramos que a derivada de é:

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