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Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a derivada da função arctan(x) é igual a
. Isso faz parte do estudo de derivadas, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para entender como as funções mudam. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de derivada e algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite da razão de incremento da função quando o incremento de
tende a zero. Matemáticamente, isso é escrito como:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à função
. Então, a derivada
será:
Passo 4
Para simplificar esse limite, precisamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona a diferença de arctangentes. Sabemos que:
Vamos aplicar isso com
e
:
Passo 5
Substituindo de volta na definição da derivada:
Quando
tende a zero, a expressão
também tende a zero. Sabemos que para valores pequenos de
,
. Então:
Passo 6
Substituindo essa aproximação no limite:
Resposta
Portanto, mostramos que a derivada de
é:
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, com
.
Cálculo 1Lista 4: Derivada e suas propriedades aritméticas, Regra da Cadeia e Derivação Implícita
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