Encontre linear tal que
é gerada por ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma transformação linear tal que a imagem de , ou seja, todos os possíveis resultados de , seja gerada pelo vetor . Isso significa que qualquer saída de deve ser um múltiplo de . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, imagem de uma transformação e como definir uma matriz que satisfaça essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, vai de para , então a matriz correspondente terá 2 linhas e 3 colunas. Ou seja, uma matriz de tamanho .

Passo 3

Agora, queremos que a imagem de seja gerada por . Isso significa que todas as colunas da matriz devem ser múltiplos de . Por quê? Porque quando multiplicamos por um vetor de , estamos fazendo combinações lineares das colunas de .

Passo 4

Então, vamos definir a matriz de forma que cada coluna seja um múltiplo de . Podemos, por exemplo, escolher todos os múltiplos como 1, mas qualquer número serve. Assim, uma matriz possível para é:

Passo 5

Com essa matriz , qualquer vetor em será transformado por da seguinte maneira:
Isso mostra que a saída é sempre um múltiplo de , já que .

Resposta

Uma transformação linear que satisfaz o enunciado é:
Ou seja, para qualquer vetor em , temos:
Essa garante que a imagem é gerada pelo vetor .

Exercícios relacionados

Seja definida por , onde
Encontre uma base de e .
Para cada matriz abaixo, encontre uma matriz linha equivalente na forma escada reduzida por linhas
d.
Justifique porque se a inversa de uma matriz é ela própria, ela é uma matriz involutória.
Encontre linear tal que
é gerado por .