Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma transformação linear tal que a imagem de , ou seja, todos os possíveis resultados de , seja gerada pelo vetor . Isso significa que qualquer saída de deve ser um múltiplo de . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, imagem de uma transformação e como definir uma matriz que satisfaça essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, vai de para , então a matriz correspondente terá 2 linhas e 3 colunas. Ou seja, uma matriz de tamanho .
Passo 3
Agora, queremos que a imagem de seja gerada por . Isso significa que todas as colunas da matriz devem ser múltiplos de . Por quê? Porque quando multiplicamos por um vetor de , estamos fazendo combinações lineares das colunas de .
Passo 4
Então, vamos definir a matriz de forma que cada coluna seja um múltiplo de . Podemos, por exemplo, escolher todos os múltiplos como 1, mas qualquer número serve. Assim, uma matriz possível para é:
Passo 5
Com essa matriz , qualquer vetor em será transformado por da seguinte maneira:
Isso mostra que a saída é sempre um múltiplo de , já que .
Resposta
Uma transformação linear que satisfaz o enunciado é: