Seja F: M2 times 2(R) longrightarrow M2 times 2(R) definida por F(A)=M A, onde
M=(cc 1 & 1 3 & -2 )
Encontre uma base de Im(T) e N(T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente tem uma transformação linear que pega matrizes e multiplica pela matriz dada. O objetivo é encontrar uma base para a Imagem de (chamada de ) e para o Núcleo de (chamado de ). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de álgebra linear, como transformação linear, imagem e núcleo, e como encontrar bases para esses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas quando multiplicamos por qualquer matriz de . Para encontrar uma base para , precisamos determinar as matrizes que geram todos os possíveis resultados dessa multiplicação.

Passo 3

Vamos escrever a matriz A = a & b c & d de forma geral:
F(A) = M cdot A = 1 & 1 3 & -2 a & b c & d = 1a + 1c & 1b + 1d 3a + (-2)c & 3b + (-2)d
Multiplicando F(A) = a + c & b + d 3a - 2c & 3b - 2d por , temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos ver como as entradas da matriz estão relacionadas. Observamos que:
  • A primeira coluna depende de e .
  • A segunda coluna depende de e .
Vamos separar essas dependências para encontrar as matrizes geradoras.

Passo 5

Para a primeira coluna:
a + c 3a - 2c = a 1 3 + c 1 -2
Para a segunda coluna:
b + d 3b - 2d = b 1 3 + d 1 -2
Isso mostra que todas as matrizes na imagem de podem ser escritas como combinações lineares de duas matrizes base.

Passo 6

Então, uma base para 1 3 , 1 -2 é formada por duas matrizes que correspondem às combinações acima. Vamos escolher 1 & 0 3 & 0 , 0 & 1 0 & 3 , 1 & 1 -2 & -2 para a primeira matriz, e para a segunda:
E como isso para as duas colunas, a base completa será:
No entanto, observando as dependências lineares, percebemos que apenas duas dessas matrizes são necessárias para a base.

Passo 7

Passando para o núcleo M cdot A = 0 , que é o conjunto de todas as matrizes 1 & 1 3 & -2 a & b c & d = a + c & b + d 3a - 2c & 3b - 2d = 0 & 0 0 & 0 tais que a + c = 0 b + d = 0 3a - 2c = 0 3b - 2d = 0 . Ou seja:
Isso significa:
Portanto, temos o sistema de equações:

Passo 8

Resolvendo o sistema, da primeira equação 3a - 2(-a) = 3a + 2a = 5a = 0 Rightarrow a = 0 Rightarrow c = 0 , temos 3b - 2(-b) = 3b + 2b = 5b = 0 Rightarrow b = 0 Rightarrow d = 0 . Substituindo na terceira equação:
Analogamente, da segunda equação , temos . Substituindo na quarta equação:
Então, a única solução é , o que significa que o núcleo é trivial.

Passo 9

Como o núcleo é apenas a matriz zero, , isso também indica que a transformação é injetora.

Resposta

Uma base para a imagem de 1 & 1 3 & -2 , 1 & 1 3 & -2 é:
N(F) = 0 & 0 0 & 0
E o núcleo de é apenas a matriz zero:

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