Seja definida por , onde
Encontre uma base de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente tem uma transformação linear que pega matrizes e multiplica pela matriz dada. O objetivo é encontrar uma base para a Imagem de (chamada de ) e para o Núcleo de (chamado de ). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de álgebra linear, como transformação linear, imagem e núcleo, e como encontrar bases para esses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas quando multiplicamos por qualquer matriz de . Para encontrar uma base para , precisamos determinar as matrizes que geram todos os possíveis resultados dessa multiplicação.

Passo 3

Vamos escrever a matriz de forma geral:
Multiplicando por , temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos ver como as entradas da matriz estão relacionadas. Observamos que:
  • A primeira coluna depende de e .
  • A segunda coluna depende de e .
Vamos separar essas dependências para encontrar as matrizes geradoras.

Passo 5

Para a primeira coluna:
Para a segunda coluna:
Isso mostra que todas as matrizes na imagem de podem ser escritas como combinações lineares de duas matrizes base.

Passo 6

Então, uma base para é formada por duas matrizes que correspondem às combinações acima. Vamos escolher para a primeira matriz, e para a segunda:
E como isso para as duas colunas, a base completa será:
No entanto, observando as dependências lineares, percebemos que apenas duas dessas matrizes são necessárias para a base.

Passo 7

Passando para o núcleo , que é o conjunto de todas as matrizes tais que . Ou seja:
Isso significa:
Portanto, temos o sistema de equações:

Passo 8

Resolvendo o sistema, da primeira equação , temos . Substituindo na terceira equação:
Analogamente, da segunda equação , temos . Substituindo na quarta equação:
Então, a única solução é , o que significa que o núcleo é trivial.

Passo 9

Como o núcleo é apenas a matriz zero, , isso também indica que a transformação é injetora.

Resposta

Uma base para a imagem de é:
E o núcleo de é apenas a matriz zero:

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Para cada matriz abaixo, encontre uma matriz linha equivalente na forma escada reduzida por linhas
d.
Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
d.
Encontre linear tal que
é gerada por ;
Justifique porque se a inversa de uma matriz é ela própria, ela é uma matriz involutória.