Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente tem uma transformação linear que pega matrizes e multiplica pela matriz dada. O objetivo é encontrar uma base para a Imagem de (chamada de ) e para o Núcleo de (chamado de ). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de álgebra linear, como transformação linear, imagem e núcleo, e como encontrar bases para esses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas quando multiplicamos por qualquer matriz de . Para encontrar uma base para , precisamos determinar as matrizes que geram todos os possíveis resultados dessa multiplicação.
Passo 3
Vamos escrever a matriz de forma geral:
Multiplicando por , temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos ver como as entradas da matriz estão relacionadas. Observamos que:
A primeira coluna depende de e .
A segunda coluna depende de e .
Vamos separar essas dependências para encontrar as matrizes geradoras.
Passo 5
Para a primeira coluna:
Para a segunda coluna:
Isso mostra que todas as matrizes na imagem de podem ser escritas como combinações lineares de duas matrizes base.
Passo 6
Então, uma base para é formada por duas matrizes que correspondem às combinações acima. Vamos escolher para a primeira matriz, e para a segunda:
E como isso para as duas colunas, a base completa será:
No entanto, observando as dependências lineares, percebemos que apenas duas dessas matrizes são necessárias para a base.
Passo 7
Passando para o núcleo , que é o conjunto de todas as matrizes tais que . Ou seja:
Isso significa:
Portanto, temos o sistema de equações:
Passo 8
Resolvendo o sistema, da primeira equação , temos . Substituindo na terceira equação:
Analogamente, da segunda equação , temos . Substituindo na quarta equação:
Então, a única solução é , o que significa que o núcleo é trivial.
Passo 9
Como o núcleo é apenas a matriz zero, , isso também indica que a transformação é injetora.