integral 2 x+1x^2+x+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 2 x+1x^2+x+2 , dx. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que temos na integral: o numerador é 2x + 1 e o denominador é x^2 + x + 2. A ideia aqui é ver se o numerador é a derivada do denominador ou algo parecido. Então, vamos calcular a derivada do denominador:
ddx(x^2 + x + 2) = 2x + 1
Viu só? A derivada do denominador é exatamente o numerador da nossa fração!

Passo 3

Quando temos uma integral da forma integral u'u , dx, onde u é uma função diferenciável, sabemos que a integral é o logaritmo natural de u mais a constante de integração. Nesse caso, podemos identificar:
  • u = x^2 + x + 2
  • u' = 2x + 1
Portanto, nossa integral fica:
integral 2x + 1x^2 + x + 2 , dx = ln|x^2 + x + 2| + C

Resposta

A integral é igual a ln(x^2 + x + 2) + C, onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados