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:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a função inversa de
. Aqui estamos lidando com funções exponenciais e a matéria envolve entender o que é uma função inversa e como encontrá-la. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar
em termos de
e depois trocar as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a função inversa. A função inversa,
, “desfaz” o que a função original faz. Ou seja, se
, então
.
Passo 3
Vamos começar definindo
. Então temos:
Nosso objetivo é expressar
em termos de
.
Passo 4
Para isolar
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. O logaritmo natural é a função inversa da exponencial, o que facilita o processo:
Passo 5
Sabemos que
, então podemos simplificar o lado direito da equação:
Passo 6
Agora, vamos isolar
. Subtraia
de ambos os lados:
Passo 7
Finalmente, para obter a função inversa, trocamos
por
:
Resposta
A função inversa é:
Exercícios relacionados
A função de Heaviside
é definida por
. Essa função é usada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento repentino de corrente elétrica, ou voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligada.
Esboce o gráfico da função de Heaviside.
Esboce o gráfico da função de Heaviside.
Esboce o gráfico das funções:
A população de certa espécie em um ambiente limitado, com população inicial igual a 100 e capacidade para comportar 1.000 indivíduos, é
onde
é medido em anos.
Faça o gráfico dessa função e estime quanto tempo levará para a população atingir 900 indivíduos.
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Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem