Encontre f^(-1)(x) :
f(x) = e^(1 - x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a função inversa de . Aqui estamos lidando com funções exponenciais e a matéria envolve entender o que é uma função inversa e como encontrá-la. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar em termos de e depois trocar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a função inversa. A função inversa, , “desfaz” o que a função original faz. Ou seja, se , então .

Passo 3

Vamos começar definindo . Então temos:
Nosso objetivo é expressar em termos de .

Passo 4

Para isolar , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. O logaritmo natural é a função inversa da exponencial, o que facilita o processo:

Passo 5

Sabemos que , então podemos simplificar o lado direito da equação:

Passo 6

Agora, vamos isolar . Subtraia de ambos os lados:

Passo 7

Finalmente, para obter a função inversa, trocamos por :

Resposta

A função inversa é:

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