Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função , identificar onde a função está aumentando, diminuindo ou constante, e também descobrir o domínio e a imagem dela. Pra isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, que são aquelas que têm o formato . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da função. A função dada é . Isso é uma função quadrática, e podemos reescrevê-la no formato padrão , onde é o vértice da parábola. Nesse caso, , e . Isso nos ajuda a identificar o vértice e a direção da abertura da parábola.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vértice da parábola. Pelo formato , o vértice é . Então, substituindo os valores que temos:
Como é negativo, a parábola abre para baixo. Isso significa que o vértice é o ponto mais alto da função.

Passo 4

Vamos determinar o domínio e a imagem da função. O domínio de uma função quadrática é todos os números reais, já que não há restrições para . Então:
í
A imagem é o conjunto de valores que a função pode assumir. Como a parábola abre para baixo e o vértice é o ponto mais alto , a imagem será todos os valores menores ou iguais a 3:

Passo 5

Agora, vamos descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo. Em uma parábola que abre para baixo:
  • A função está crescendo antes do vértice.
  • A função está diminuindo depois do vértice.
Portanto:
  • Crescente: Para
  • Decrescente: Para
  • Constante: Não há intervalos onde a função é constante, já que é sempre uma parábola.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. Sabemos que o vértice é , a parábola abre para baixo, e a imagem é até 3. Alguns pontos adicionais podem ser encontrados calculando para valores específicos de , mas já com essas informações, temos o essencial para desenhar o gráfico.

Resposta

O gráfico da função é uma parábola com vértice em que abre para baixo. A função é:
  • Crescente em
  • Decrescente em
  • Não possui intervalos constantes
O domínio da função é todos os números reais e a imagem é .

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Esboce o gráfico das funções:
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