Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da função
, identificar onde a função está aumentando, diminuindo ou constante, e também descobrir o domínio e a imagem dela. Pra isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, que são aquelas que têm o formato
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da função. A função dada é
. Isso é uma função quadrática, e podemos reescrevê-la no formato padrão
, onde
é o vértice da parábola. Nesse caso,
,
e
. Isso nos ajuda a identificar o vértice e a direção da abertura da parábola.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vértice da parábola. Pelo formato
, o vértice é
. Então, substituindo os valores que temos:
Como
é negativo, a parábola abre para baixo. Isso significa que o vértice é o ponto mais alto da função.
Passo 4
Vamos determinar o domínio e a imagem da função. O domínio de uma função quadrática é todos os números reais, já que não há restrições para
. Então:
A imagem é o conjunto de valores que a função pode assumir. Como a parábola abre para baixo e o vértice é o ponto mais alto
, a imagem será todos os valores menores ou iguais a 3:
Passo 5
Agora, vamos descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo. Em uma parábola que abre para baixo:
- A função está crescendo antes do vértice.
- A função está diminuindo depois do vértice.
Portanto:
- Crescente: Para
- Decrescente: Para
- Constante: Não há intervalos onde a função é constante, já que é sempre uma parábola.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. Sabemos que o vértice é
, a parábola abre para baixo, e a imagem é até 3. Alguns pontos adicionais podem ser encontrados calculando
para valores específicos de
, mas já com essas informações, temos o essencial para desenhar o gráfico.
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola com vértice em
que abre para baixo. A função é:
- Crescente em
- Decrescente em
- Não possui intervalos constantes
O domínio da função é todos os números reais
e a imagem é
.
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