A população de certa espécie em um ambiente limitado, com população inicial igual a 100 e capacidade para comportar 1.000 indivíduos, é
P(t) = 100000 / (100 + 900 e^(-t))
onde t é medido em anos.
Faça o gráfico dessa função e estime quanto tempo levará para a população atingir 900 indivíduos.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre crescimento populacional. A gente vai trabalhar com uma função que descreve como a população de uma espécie cresce ao longo do tempo. Precisamos entender essa função, desenhar o gráfico dela e descobrir em quanto tempo a população vai chegar a 900 indivíduos. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de funções exponenciais e de como resolver equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que descreve a população:
Aqui, representa a população no tempo , onde está em anos. A função tem dois parâmetros importantes: a população inicial e a capacidade de suporte do ambiente.

Passo 3

Vamos identificar os componentes da função:
  • População Inicial: Quando ,
    Então, a população inicial é de 100 indivíduos.
  • Capacidade de Suporte: Quando o tempo tende ao infinito ( ),
    Isso significa que o ambiente pode comportar até 1000 indivíduos.

Passo 4

Agora, vamos desenhar o gráfico dessa função para visualizar como a população cresce ao longo do tempo. Sabemos que a função começa em 100 e se aproxima de 1000 conforme aumenta.
Infelizmente, não consigo desenhar o gráfico aqui, mas você pode usar uma calculadora gráfica ou um software como o Desmos para plotar a função . O gráfico será uma curva crescente que se estabiliza em 1000.

Passo 5

O próximo passo é encontrar o tempo quando a população atinge 900 indivíduos. Para isso, vamos resolver a equação:

Passo 6

Vamos resolver essa equação passo a passo. Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 7

Agora, distribuímos o 900:

Passo 8

Subtraia 90.000 de ambos os lados para isolar o termo com :

Passo 9

Agora, dividimos ambos os lados por 810.000 para resolver para :

Passo 10

Para resolver para , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Lembrando que .

Passo 11

Calculando o logaritmo:
Portanto:

Passo 12

Calculando :
Sabemos que , então:
Então, anos.

Resposta

A população atingirá 900 indivíduos aproximadamente 4,39 anos após o início.

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