A população de certa espécie em um ambiente limitado, com população inicial igual a 100 e capacidade para comportar 1.000 indivíduos, é
onde
é medido em anos.
Faça o gráfico dessa função e estime quanto tempo levará para a população atingir 900 indivíduos.
Faça o gráfico dessa função e estime quanto tempo levará para a população atingir 900 indivíduos.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre crescimento populacional. A gente vai trabalhar com uma função que descreve como a população de uma espécie cresce ao longo do tempo. Precisamos entender essa função, desenhar o gráfico dela e descobrir em quanto tempo a população vai chegar a 900 indivíduos. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de funções exponenciais e de como resolver equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que descreve a população:
Aqui,
representa a população no tempo
, onde
está em anos. A função tem dois parâmetros importantes: a população inicial e a capacidade de suporte do ambiente.
Passo 3
Vamos identificar os componentes da função:
-
População Inicial: Quando
, Então, a população inicial é de 100 indivíduos. -
Capacidade de Suporte: Quando o tempo tende ao infinito (
), Isso significa que o ambiente pode comportar até 1000 indivíduos.
Passo 4
Agora, vamos desenhar o gráfico dessa função para visualizar como a população cresce ao longo do tempo. Sabemos que a função começa em 100 e se aproxima de 1000 conforme
aumenta.
Infelizmente, não consigo desenhar o gráfico aqui, mas você pode usar uma calculadora gráfica ou um software como o Desmos para plotar a função
. O gráfico será uma curva crescente que se estabiliza em 1000.
Passo 5
O próximo passo é encontrar o tempo
quando a população atinge 900 indivíduos. Para isso, vamos resolver a equação:
Passo 6
Vamos resolver essa equação passo a passo. Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 7
Agora, distribuímos o 900:
Passo 8
Subtraia 90.000 de ambos os lados para isolar o termo com
:
Passo 9
Agora, dividimos ambos os lados por 810.000 para resolver para
:
Passo 10
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Lembrando que
.
Passo 11
Calculando o logaritmo:
Portanto:
Passo 12
Calculando
:
Sabemos que
, então:
Então,
anos.
Resposta
A população atingirá 900 indivíduos aproximadamente 4,39 anos após o início.
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Encontre
:
A função de Heaviside
é definida por
. Essa função é usada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento repentino de corrente elétrica, ou voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligada.
Esboce o gráfico da função de Heaviside.
Esboce o gráfico da função de Heaviside.
Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem
Esboce o gráfico das funções: