Encontre uma família de conjuntos que satisfaz:
  • .
  • .
  • para quaisquer .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma família de conjuntos que satisfaça três condições:
  1. A união de todos os conjuntos dá todos os números naturais, ou seja, .
  2. A interseção de todos os conjuntos é vazia, ou seja, .
  3. A interseção de quaisquer dois conjuntos e não é vazia, ou seja, para quaisquer .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como união, interseção e famílias de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa cada uma dessas condições:
  1. União de todos os é : Isso quer dizer que todo número natural deve estar em pelo menos um dos conjuntos .
  2. Interseção de todos os é vazia: Nenhum número natural pode estar em todos os conjuntos ao mesmo tempo.
  3. Interseção de quaisquer dois não é vazia: Para qualquer par de conjuntos na família, deve existir pelo menos um número natural que está nos dois conjuntos.

Passo 3

Para satisfazer essas condições, podemos construir os conjuntos de forma que cada número natural pertença a vários conjuntos, mas não a todos. Uma maneira de fazer isso é usar uma definição baseada na paridade ou em propriedades específicas dos números.
Vamos considerar a seguinte construção: para cada número natural , definimos como o conjunto de todos os números naturais que são múltiplos de ou que possuem uma certa relação com . No entanto, para garantir que a interseção de todos os conjuntos seja vazia, precisamos que não haja nenhum número que seja múltiplo de todos os , o que não é possível já que o único número que é múltiplo de todos é o zero, que não está em se considerarmos .

Passo 4

Uma abordagem mais simples é considerar que cada conjunto falta exatamente um número natural. Por exemplo, podemos definir:
Ou seja, cada conjunto contém todos os números naturais, exceto o número .

Passo 5

Vamos verificar se essa definição satisfaz as três condiç��es:
  1. União de todos os é : Como cada número natural está em todos os conjuntos para , toda a está coberta quando tomamos a união de todos os .
  2. Interseção de todos os é vazia: Nenhum número natural está presente em todos os conjuntos , porque para cada número , ele está faltando no conjunto .
  3. Interseção de quaisquer dois não é vazia: Para qualquer e , o número que falta em é e em é . Assim, todos os demais números pertencem a ambos os conjuntos, garantindo que a interseção não seja vazia.

Resposta

Uma família de conjuntos que satisfaz as condições é dada por:

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