Encontre uma família de conjuntos
que satisfaz:
-
.
-
.
-
para quaisquer
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma família de conjuntos
que satisfaça três condições:
- A união de todos os conjuntos
dá todos os números naturais, ou seja, . - A interseção de todos os conjuntos
é vazia, ou seja, . - A interseção de quaisquer dois conjuntos
e não é vazia, ou seja, para quaisquer .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como união, interseção e famílias de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa cada uma dessas condições:
- União de todos os
é : Isso quer dizer que todo número natural deve estar em pelo menos um dos conjuntos . - Interseção de todos os
é vazia: Nenhum número natural pode estar em todos os conjuntos ao mesmo tempo. - Interseção de quaisquer dois
não é vazia: Para qualquer par de conjuntos na família, deve existir pelo menos um número natural que está nos dois conjuntos.
Passo 3
Para satisfazer essas condições, podemos construir os conjuntos
de forma que cada número natural pertença a vários conjuntos, mas não a todos. Uma maneira de fazer isso é usar uma definição baseada na paridade ou em propriedades específicas dos números.
Vamos considerar a seguinte construção: para cada número natural
, definimos
como o conjunto de todos os números naturais que são múltiplos de
ou que possuem uma certa relação com
. No entanto, para garantir que a interseção de todos os conjuntos seja vazia, precisamos que não haja nenhum número que seja múltiplo de todos os
, o que não é possível já que o único número que é múltiplo de todos é o zero, que não está em
se considerarmos
.
Passo 4
Uma abordagem mais simples é considerar que cada conjunto
falta exatamente um número natural. Por exemplo, podemos definir:
Ou seja, cada conjunto
contém todos os números naturais, exceto o número
.
Passo 5
Vamos verificar se essa definição satisfaz as três condiç��es:
- União de todos os
é : Como cada número natural está em todos os conjuntos para , toda a está coberta quando tomamos a união de todos os . - Interseção de todos os
é vazia: Nenhum número natural está presente em todos os conjuntos , porque para cada número , ele está faltando no conjunto . - Interseção de quaisquer dois
não é vazia: Para qualquer e , o número que falta em é e em é . Assim, todos os demais números pertencem a ambos os conjuntos, garantindo que a interseção não seja vazia.
Resposta
Uma família de conjuntos que satisfaz as condições é dada por:
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Sejam
com
e
. Prove que os intervalos abertos
e
são disjuntos se e somente se
ou
.
Usando a fórmula
para os coeficientes da série de Taylor
, escreva a série de potências centrada em 0 gerada pela função
Seja
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, então
.
Para cada uma das funções a seguir, determine se
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em
.
.