Seja um conjunto cujos elementos também são conjuntos. Prove que se , então .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto cujos elementos também são conjuntos. A condição dada é que, para todo conjunto dentro de , todo elemento de também está em . Precisamos provar que está contido no conjunto das partes de , ou seja, .

Passo 2

Vamos lembrar o que significa . O conjunto das partes de , denotado por , é o conjunto de todos os subconjuntos de . Ou seja, cada elemento de é um conjunto que está totalmente contido em .

Passo 3

Para mostrar que , precisamos provar que todo elemento de também é um elemento de . Em outras palavras, precisamos mostrar que é um subconjunto de para todo .

Passo 4

Vamos pegar um elemento arbitrário de . Queremos provar que . Para isso, devemos mostrar que todo elemento de também pertence a .

Passo 5

A condição do enunciado nos diz exatamente isso: para todo e para todo , temos que . Isso significa que cada elemento de está em , logo, está totalmente contido em , ou seja, .

Passo 6

Como para todo , isso implica que cada é um subconjunto de e, portanto, .

Passo 7

Como mostramos que todo também pertence a , podemos concluir que .

Resposta

Portanto, concluímos que sob as condições dadas.

Exercícios relacionados

Encontre uma família de conjuntos que satisfaz:
  • .
  • .
  • para quaisquer .
Sejam com e . Prove que os intervalos abertos e são disjuntos se e somente se ou .
Para cada uma das funções a seguir, determine se é ou não o gráfico de uma função de em . .
Qual das seguintes funções está bem-definida? definida pela equação para todo .