Seja
um conjunto cujos elementos também são conjuntos. Prove que se
, então
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
cujos elementos também são conjuntos. A condição dada é que, para todo conjunto
dentro de
, todo elemento
de
também está em
. Precisamos provar que
está contido no conjunto das partes de
, ou seja,
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa
. O conjunto das partes de
, denotado por
, é o conjunto de todos os subconjuntos de
. Ou seja, cada elemento de
é um conjunto que está totalmente contido em
.
Passo 3
Para mostrar que
, precisamos provar que todo elemento
de
também é um elemento de
. Em outras palavras, precisamos mostrar que
é um subconjunto de
para todo
.
Passo 4
Vamos pegar um elemento arbitrário
de
. Queremos provar que
. Para isso, devemos mostrar que todo elemento
de
também pertence a
.
Passo 5
A condição do enunciado nos diz exatamente isso: para todo
e para todo
, temos que
. Isso significa que cada elemento de
está em
, logo,
está totalmente contido em
, ou seja,
.
Passo 6
Como
para todo
, isso implica que cada
é um subconjunto de
e, portanto,
.
Passo 7
Como mostramos que todo
também pertence a
, podemos concluir que
.
Resposta
Portanto, concluímos que
sob as condições dadas.
Exercícios relacionados
Encontre uma família de conjuntos
que satisfaz:
-
. -
. -
para quaisquer .
Sejam
com
e
. Prove que os intervalos abertos
e
são disjuntos se e somente se
ou
.
Para cada uma das funções a seguir, determine se
é ou não o gráfico de uma função de
em
.
.
Qual das seguintes funções está bem-definida?
definida pela equação
para todo
.