Encontre um fator de integração apropriado e resolva as E.D.O. abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na equação que você trouxe:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente o método de separação de variáveis. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis e de lados opostos da igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar . Para isso, subtraímos de ambos os lados:
Agora, vamos dividir ambos os lados por para deixar sozinho:

Passo 3

Perceba que agora temos uma equação onde as variáveis e estão misturadas, mas podemos manipular isso para separar as variáveis. Vamos reescrever a equação:
Isso pode ser rearranjado para:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por para separar e .

Passo 4

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

Começando pela integral à esquerda:
Aqui, usamos a regra de integração para funções exponenciais, onde .

Passo 6

Agora, a integral à direita:
Integrando termo a termo.

Passo 7

Juntando as integrais:
Podemos simplificar os constantes e em um único constante :

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos renomear como apenas (pois é apenas uma constante arbitrária):

Passo 9

Finalmente, isolamos tirando o logaritmo natural dos dois lados:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é a constante de integração.

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