Encontre um fator de integração apropriado e resolva as E.D.O. abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na equação que você trouxe:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente o método de separação de variáveis. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis
e
de lados opostos da igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
. Para isso, subtraímos
de ambos os lados:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
para deixar
sozinho:
Passo 3
Perceba que agora temos uma equação onde as variáveis
e
estão misturadas, mas podemos manipular isso para separar as variáveis. Vamos reescrever a equação:
Isso pode ser rearranjado para:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
para separar
e
.
Passo 4
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 5
Começando pela integral à esquerda:
Aqui, usamos a regra de integração para funções exponenciais, onde
.
Passo 6
Agora, a integral à direita:
Integrando termo a termo.
Passo 7
Juntando as integrais:
Podemos simplificar os constantes
e
em um único constante
:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos renomear
como apenas
(pois é apenas uma constante arbitrária):
Passo 9
Finalmente, isolamos
tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Verifique se as equações abaixo são exatas e, em caso positivo, resolva-as.
Encontre as soluções das equações abaixo:
Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis:
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