Encontre as soluções das equações abaixo: y dx - (x - raiz(x^2 + y^2)) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar as soluções da equação diferencial . A matéria aqui é Equações Diferenciais, e vamos precisar usar substituições para simplificar e resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar: . A ideia é expressar para termos uma forma mais comum de equação diferencial.

Passo 3

Dividindo ambos os lados por , temos: . Assim, isolamos :

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja . Então, e . Substituímos na equação:

Passo 5

Simplificando o denominador:
Então, a equação fica:

Passo 6

Isolando :

Passo 7

Vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:

Passo 8

A integral do lado direito é simples:
Já o lado esquerdo requer substituição. Vamos considerar:
Integrando termo a termo:
A primeira integral pode ser resolvida por substituição , e a segunda é .

Passo 9

Após resolver as integrais, juntamos tudo:
Substituindo :

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é a constante de integração.

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