Verifique se as equações abaixo são exatas e, em caso positivo, resolva-as.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a equação diferencial
é exata. Uma equação exata é aquela que pode ser expressa como a derivada total de uma função
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais das funções que multiplicam
e
e verificar se elas são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Passo 4
Compare as derivadas parciais que calculamos:
Como
, a equação diferencial é exata. Isso significa que existe uma função
tal que
.
Passo 5
Vamos encontrar a função potencial
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e que surge da integração.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Passo 7
Simplificando a equação acima para encontrar
:
Agora, integramos
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Substituímos
na expressão de
:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Ou seja,
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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