Verifique se as equações abaixo são exatas e, em caso positivo, resolva-as.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a equação diferencial é exata. Uma equação exata é aquela que pode ser expressa como a derivada total de uma função . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais das funções que multiplicam e e verificar se elas são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e :

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :

Passo 4

Compare as derivadas parciais que calculamos:
Como , a equação diferencial é exata. Isso significa que existe uma função tal que .

Passo 5

Vamos encontrar a função potencial integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e que surge da integração.

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :

Passo 7

Simplificando a equação acima para encontrar :
Agora, integramos em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Substituímos na expressão de :

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Ou seja,

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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