Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau: f(x, y) = x \* sen(x/y) + x^2/y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a função é homogênea. Se for, também vamos descobrir de que grau ela é. Homogênea significa que se a gente multiplicar todas as variáveis por um mesmo número, a função toda vai multiplicar por uma potência desse número. Para isso, vamos precisar conhecer a definição de função homogênea e como aplicar essa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função homogênea. Uma função f(x, y) é dita homogênea de grau k se, para todo número t, ela satisfaz:
Ou seja, ao multiplicar cada variável por t, a função inteira é multiplicada por t elevado a k.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Precisamos calcular e ver se conseguimos expressá-la como para algum valor de .

Passo 4

Vamos calcular :
Simplificando dentro da função seno:
Então:

Passo 5

Agora, observe que podemos fatorar o t:
Comparando com a definição de função homogênea:
Perceba que , então .

Resposta

A função é homogênea de grau 1.

Exercícios relacionados