Encontre um fator integrante e resolva a equação dada. y' = e^(2x) + y - 1.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada: . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante que nos ajude a simplificar a equação e, assim, encontrar a solução para .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos padrão de uma equação diferencial linear. A equação original é:
Podemos reorganizar para colocar todos os termos com de um lado:
Aqui, e .

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Portanto, podemos escrever:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação é:

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