Encontre um fator integrante e resolva a equação dada.
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante que nos ajude a simplificar a equação e, assim, encontrar a solução para
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos padrão de uma equação diferencial linear. A equação original é:
Podemos reorganizar para colocar todos os termos com
de um lado:
Aqui,
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Portanto, podemos escrever:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
.
Um tanque contém inicialmente 100 litros de água e 100 gramas de sal. Então, uma mistura de água e sal na concentração de 5 gramas de sal por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde
é contado a partir do início do processo.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
Resolva as equações diferenciais.
.
Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto possuindo uma concentração de 1 grama de sal por litro. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(b) De qual valor se aproxima a concentração quando o tanque está enchendo, se a sua capacidade é de 200 litros?
(b) De qual valor se aproxima a concentração quando o tanque está enchendo, se a sua capacidade é de 200 litros?