Encontre um fator integrante e resolva a equação dada. .

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada: . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante que nos ajude a simplificar a equação e, assim, encontrar a solução para .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos padrão de uma equação diferencial linear. A equação original é:
Podemos reorganizar para colocar todos os termos com de um lado:
Aqui, e .

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Portanto, podemos escrever:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral da equação diferencial dada. .
Um tanque contém inicialmente 100 litros de água e 100 gramas de sal. Então, uma mistura de água e sal na concentração de 5 gramas de sal por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde é contado a partir do início do processo.
Resolva as equações diferenciais. .
Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto possuindo uma concentração de 1 grama de sal por litro. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(b) De qual valor se aproxima a concentração quando o tanque está enchendo, se a sua capacidade é de 200 litros?