Resolva as equações diferenciais.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me passou:
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração, então vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para isolar
. Assim:
Dividindo tudo por
:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir
. Isso significa que
. Vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original:
Vamos reorganizar para isolar os termos com
:
Passo 5
Essa equação está na forma separável, ou seja, podemos separar as variáveis
e
:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, observamos que o denominador
pode ser reescrito como
:
Integrando:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
Finalmente, isolando
:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre um fator integrante e resolva a equação dada.
.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
.
Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto possuindo uma concentração de 1 grama de sal por litro. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(b) De qual valor se aproxima a concentração quando o tanque está enchendo, se a sua capacidade é de 200 litros?
(b) De qual valor se aproxima a concentração quando o tanque está enchendo, se a sua capacidade é de 200 litros?
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{z} \int_{0}^{y} z e{-y{2}} d x d y d z