Resolva as equações diferenciais. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me passou: . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração, então vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para isolar . Assim:
Dividindo tudo por :

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir . Isso significa que . Vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituindo e na equação original:
Vamos reorganizar para isolar os termos com :

Passo 5

Essa equação está na forma separável, ou seja, podemos separar as variáveis e :

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, observamos que o denominador pode ser reescrito como :
Integrando:

Passo 7

Agora, vamos resolver para :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

Finalmente, isolando :
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Encontre um fator integrante e resolva a equação dada. .
Encontre a solução geral da equação diferencial dada. .
Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto possuindo uma concentração de 1 grama de sal por litro. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(b) De qual valor se aproxima a concentração quando o tanque está enchendo, se a sua capacidade é de 200 litros?
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{z} \int_{0}^{y} z e{-y{2}} d x d y d z