Resolva as equações diferenciais. x^2 + 3 x y + y^2 - x^2 dy/dx = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me passou: . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração, então vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para isolar . Assim:
Dividindo tudo por :

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir . Isso significa que . Vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituindo e na equação original:
Vamos reorganizar para isolar os termos com :

Passo 5

Essa equação está na forma separável, ou seja, podemos separar as variáveis e :

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, observamos que o denominador pode ser reescrito como :
Integrando:

Passo 7

Agora, vamos resolver para :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

Finalmente, isolando :
Onde é a constante de integração.

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