Um tanque contém inicialmente 100 litros de água e 100 gramas de sal. Então, uma mistura de água e sal na concentração de 5 gramas de sal por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
, onde
é contado a partir do início do processo.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A gente tem um tanque que começa com 100 litros de água e já tem 100 gramas de sal dissolvido. A mistura de água com sal que entra no tanque tem 5 gramas de sal por litro e está entrando a uma velocidade de 4 litros por minuto. Ao mesmo tempo, a mesma quantidade de solução está saindo do tanque. Nosso objetivo é descobrir quanto sal tem no tanque a qualquer momento
depois que começamos esse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quanto sal está entrando no tanque por minuto. A concentração de sal na mistura que entra é de 5 gramas por litro e está entrando a 4 litros por minuto. Então, a quantidade de sal que entra por minuto é:
Isso significa que, a cada minuto, 20 gramas de sal estão entrando no tanque.
Passo 3
Agora, vamos ver quanto sal está saindo do tanque. Como a solução que sai está bem misturada, a concentração de sal na saída é a mesma do tanque naquele momento. Se
representa a quantidade de sal no tanque em qualquer instante
, e o volume de água no tanque permanece constante em 100 litros (já que a entrada e a saída estão na mesma taxa), então a concentração de sal no tanque é:
Como a solução está saindo a 4 litros por minuto, a quantidade de sal que sai por minuto é:
Passo 4
Agora, vamos montar uma equação que descreva como a quantidade de sal no tanque muda com o tempo. A variação do sal no tanque depende da entrada e da saída:
Essa é uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar
.
Passo 5
Para resolver essa equação diferencial, vamos rearrumá-la:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 6
Calculamos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação diferencial por esse fator:
Passo 7
A equação fica:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Agora, usamos a condição inicial. Quando
,
gramas:
Passo 9
Substituindo
na equação de
:
Resposta
A quantidade de sal no tanque em cada instante
é: