Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial
para
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma ferramenta super útil para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
. Para isso, dividimos todos os termos por
:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Como estamos trabalhando com
, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada do produto.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Passo 6
Substituímos a integral de volta na equação:
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando mais:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Um tanque contém inicialmente 100 litros de água e 100 gramas de sal. Então, uma mistura de água e sal na concentração de 5 gramas de sal por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde
é contado a partir do início do processo.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
.
Encontre um fator integrante e resolva a equação dada.
.
Resolva as equações diferenciais.
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