Encontre a solução geral da equação diferencial dada. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial para . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma ferramenta super útil para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é . Para isso, dividimos todos os termos por :
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Como estamos trabalhando com , podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada do produto.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:

Passo 6

Substituímos a integral de volta na equação:
Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :
Simplificando mais:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Um tanque contém inicialmente 100 litros de água e 100 gramas de sal. Então, uma mistura de água e sal na concentração de 5 gramas de sal por litro é bombeada para o tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. Simultaneamente a solução (bem misturada) é retirada do tanque na mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde é contado a partir do início do processo.
Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas: .
Encontre um fator integrante e resolva a equação dada. .
Resolva as equações diferenciais. .