Encontre um fator integrante e a solução da equação (x^2+y^2) d y-(2 x y) d x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos um fator integrante e a solução da equação diferencial .
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata, mas para torná-la exata, precisamos encontrar um fator integrante. Isso geralmente envolve um pouco de manipulação algébrica e conhecimento de técnicas de resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar as funções (x^2+y^2) dy - (2xy) dx = 0 implies -2xy dx + (x^2 + y^2) dy = 0 e M = -2xy e N = x^2 + y^2 :
partial Mpartial y = -2x e partial Npartial x = 2x
Aqui, temos:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 3

Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de ddx (mu(x) M) = ddy (mu(x) N) ou de mu'(x) (-2xy) + mu(x) (-2x) = mu(x) (2x) . Para simplificar, vamos assumir que o fator depende apenas de -2xy mu'(x) - 2x mu(x) = 2x mu(x) , ou seja, y mu'(x) + mu(x) = -mu(x) .
O fator integrante y mu'(x) = -2 mu(x) deve satisfazer:
Substituindo e :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Isso simplifica para:
Aqui, percebemos que a equação depende de , o que contradiz nossa suposição inicial de que depende apenas de . Portanto, nossa abordagem está incorreta, e precisamos tentar outra estratégia.

Passo 4

Vamos tentar um fator integrante que depende de ambas as variáveis (x^2+y^2)x^2 + y^2 dy - 2xyx^2 + y^2 dx = 0 implies dy - 2xyx^2 + y^2 dx = 0 e M = -2xyx^2 + y^2 e N = 1 . Uma técnica comum é considerar partial Mpartial y = -2x(x^2 + y^2) - 2xy(2y)(x^2 + y^2)^2 = -2x(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2 , pois isso simplifica a equação original.
Multiplicando a equação diferencial original por partial Npartial x = 0 :
Agora, vamos redefinir e com o fator integrante aplicado:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Claramente, , então nosso fator integrante inicial não funcionou. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 5

Vamos considerar um fator integrante que seja uma função de ddy (mu(y) M) = ddx (mu(y) N) apenas, ou seja, mu'(y) (-2xy) + mu(y) (-2x) = 0 .
A condição para a equação ser exata após multiplicar por -2x y mu'(y) - 2x mu(y) = 0 é:
y mu'(y) + mu(y) = 0
Substituindo mu'(y) + 1y mu(y) = 0 e mu(y) = C e^-integral 1y dy = C e^-ln|y| = Cy :
mu(y) = 1y
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Essa é uma equação diferencial para :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução é:
Podemos escolher para simplificar, então:

Passo 6

Agora que encontramos o fator integrante 1y (x^2+y^2) dy - 1y (2xy) dx = 0 implies (x^2y + y) dy - 2x dx = 0 , vamos multiplicar a equação diferencial original por ele:
M = -2x e N = x^2y + y
Agora, identificamos as novas funções partial Mpartial y = 0 e partial Npartial x = 2xy e :
Vamos verificar se a equação é exata agora, calculando as derivadas parciais:
Ainda não é exata, então parece que precisamos ajustar nossa abordagem. Talvez o fator integrante precise ser revisado.

Passo 7

Parece que houve um equívoco nos passos anteriores. Vamos tentar uma abordagem diferente para encontrar o fator integrante correto. Observando a equação original:
(x^2+y^2) dy - (2xy) dx = 0
Podemos notar que se dividirmos ambos os lados por (x^2y^2 + 1) dy - 2xy dx = 0 , podemos simplificar a equação:
M = -2xy e N = x^2y^2 + 1
Agora, identificamos:
partial Mpartial y = 2xy^2 e partial Npartial x = 2xy^2
Vamos verificar a exatidão:
Agora, , então a equação é exata. Portanto, encontramos que dividir por funcionou como um fator integrante.

Passo 8

Agora que a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial partial Fpartial x = M e partial Fpartial y = N tal que:
F(x, y) = integral -2xy dx = -x^2y + h(y)
Primeiro, integramos partial Fpartial y = x^2y^2 + h'(y) = x^2y^2 + 1 em relação a h'(y) = 1 implies h(y) = y + C :
F(x, y) = -x^2y + y + C
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os lados, temos:
Portanto, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
-x^2y + y = C
onde é uma constante arbitrária.

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