Encontre um fator integrante e a solução da equação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos um fator integrante e a solução da equação diferencial
.
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata, mas para torná-la exata, precisamos encontrar um fator integrante. Isso geralmente envolve um pouco de manipulação algébrica e conhecimento de técnicas de resolução de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar as funções
e
:
Aqui, temos:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 3
Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de
ou de
. Para simplificar, vamos assumir que o fator depende apenas de
, ou seja,
.
O fator integrante
deve satisfazer:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso simplifica para:
Aqui, percebemos que a equação depende de
, o que contradiz nossa suposição inicial de que
depende apenas de
. Portanto, nossa abordagem está incorreta, e precisamos tentar outra estratégia.
Passo 4
Vamos tentar um fator integrante que depende de ambas as variáveis
e
. Uma técnica comum é considerar
, pois isso simplifica a equação original.
Multiplicando a equação diferencial original por
:
Agora, vamos redefinir
e
com o fator integrante aplicado:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Claramente,
, então nosso fator integrante inicial não funcionou. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 5
Vamos considerar um fator integrante que seja uma função de
apenas, ou seja,
.
A condição para a equação ser exata após multiplicar por
é:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial para
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução é:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 6
Agora que encontramos o fator integrante
, vamos multiplicar a equação diferencial original por ele:
Agora, identificamos as novas funções
e
:
Vamos verificar se a equação é exata agora, calculando as derivadas parciais:
Ainda não é exata, então parece que precisamos ajustar nossa abordagem. Talvez o fator integrante precise ser revisado.
Passo 7
Parece que houve um equívoco nos passos anteriores. Vamos tentar uma abordagem diferente para encontrar o fator integrante correto. Observando a equação original:
Podemos notar que se dividirmos ambos os lados por
, podemos simplificar a equação:
Agora, identificamos:
Vamos verificar a exatidão:
Agora,
, então a equação é exata. Portanto, encontramos que dividir por
funcionou como um fator integrante.
Passo 8
Agora que a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os lados, temos:
Portanto, a função potencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Encontre os geradores para os seguintes subespaços de
:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Resolva a equação
utilizando um fator integrante apropriado.
Resolva a equação de Riccati
.
Encontre a solução geral da equação de Riccati
.