Encontre um fator integrante e a solução da equação .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos um fator integrante e a solução da equação diferencial .
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata, mas para torná-la exata, precisamos encontrar um fator integrante. Isso geralmente envolve um pouco de manipulação algébrica e conhecimento de técnicas de resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar as funções e :
Aqui, temos:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 3

Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de ou de . Para simplificar, vamos assumir que o fator depende apenas de , ou seja, .
O fator integrante deve satisfazer:
Substituindo e :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Isso simplifica para:
Aqui, percebemos que a equação depende de , o que contradiz nossa suposição inicial de que depende apenas de . Portanto, nossa abordagem está incorreta, e precisamos tentar outra estratégia.

Passo 4

Vamos tentar um fator integrante que depende de ambas as variáveis e . Uma técnica comum é considerar , pois isso simplifica a equação original.
Multiplicando a equação diferencial original por :
Agora, vamos redefinir e com o fator integrante aplicado:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Claramente, , então nosso fator integrante inicial não funcionou. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 5

Vamos considerar um fator integrante que seja uma função de apenas, ou seja, .
A condição para a equação ser exata após multiplicar por é:
Substituindo e :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Essa é uma equação diferencial para :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução é:
Podemos escolher para simplificar, então:

Passo 6

Agora que encontramos o fator integrante , vamos multiplicar a equação diferencial original por ele:
Agora, identificamos as novas funções e :
Vamos verificar se a equação é exata agora, calculando as derivadas parciais:
Ainda não é exata, então parece que precisamos ajustar nossa abordagem. Talvez o fator integrante precise ser revisado.

Passo 7

Parece que houve um equívoco nos passos anteriores. Vamos tentar uma abordagem diferente para encontrar o fator integrante correto. Observando a equação original:
Podemos notar que se dividirmos ambos os lados por , podemos simplificar a equação:
Agora, identificamos:
Vamos verificar a exatidão:
Agora, , então a equação é exata. Portanto, encontramos que dividir por funcionou como um fator integrante.

Passo 8

Agora que a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os lados, temos:
Portanto, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Encontre os geradores para os seguintes subespaços de :
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
Resolva a equação utilizando um fator integrante apropriado.
Resolva a equação de Riccati .
Encontre a solução geral da equação de Riccati .