Encontre os geradores para os seguintes subespaços de R^3 :
(a) W1=(x, y, z) in R^3: x-y=0.
(b) W2=(x, y, z) in R^3: x+z=x-2 y=0.
© W3=(x, y, z) in R^3: x+2 y-3 z=0.
(d) W1 cap W2.
(e) W2+W3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar os geradores de alguns subespaços de . Isso envolve entender o que define cada subespaço e descobrir uma base para eles, ou seja, um conjunto de vetores que gera todo o subespaço. Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e resolução de equações.

Passo 2

Parte (a): x = y z livre
Primeiro, vamos entender o que significa (x, y, z) = (y, y, z) = y cdot (1, 1, 0) + z cdot (0, 0, 1) . Isso quer dizer que . Não há restrições para , então ele pode ser qualquer número real.
Isso nos dá:
Agora, vamos expressar os vetores em termos de e :
Então, os vetores e são os geradores de .

Passo 3

Parte (b): x + z = 0 (1) x - 2y = 0 (2)
Aqui temos duas equações:
2y + z = 0 Rightarrow z = -2y
Vamos resolver esse sistema. Da equação (2), temos (x, y, z) = (2y, y, -2y) = y cdot (2, 1, -2) . Substituindo na equação (1):
Agora, expressamos os vetores em termos de :
Portanto, o vetor é o gerador de .

Passo 4

Parte ©: x = -2y + 3z
Vamos reorganizar a equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, vamos resolver para (x, y, z) = (-2y + 3z, y, z) = y cdot (-2, 1, 0) + z cdot (3, 0, 1) :
Agora, expressamos os vetores em termos de e :
Então, os vetores e são os geradores de .

Passo 5

Parte (d): x = 2y z = -2y
Queremos encontrar os vetores que estão tanto em y = 2y Rightarrow y = 0 quanto em . Ou seja, devem satisfazer as condições de ambas as partes (a) e (b).
De :
De :
Como e , temos:
Então, e .
Logo, o único vetor que está na interseção é , o vetor nulo.

Passo 6

Parte (e): W2 = span(2, 1, -2) W3 = span(-2, 1, 0), (3, 0, 1)
Queremos encontrar todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de a cdot (2, 1, -2) + b cdot (-2, 1, 0) + c cdot (3, 0, 1) e um vetor de (2a - 2b + 3c, , a + b, , -2a + c) .
Sabemos que:
Então, um vetor em é da forma:
Vamos somar os vetores:
Isso nos mostra que é todo , já que conseguimos obter qualquer combinação linear dos três vetores que formam uma base.

Resposta

(a) Os geradores de são e .
(b) O gerador de é .
© Os geradores de são e .
(d) A interseção contém apenas o vetor nulo .
(e) A soma é todo o espaço .

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