Encontre os geradores para os seguintes subespaços de :
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar os geradores de alguns subespaços de . Isso envolve entender o que define cada subespaço e descobrir uma base para eles, ou seja, um conjunto de vetores que gera todo o subespaço. Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e resolução de equações.

Passo 2

Parte (a):
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que . Não há restrições para , então ele pode ser qualquer número real.
Isso nos dá:
Agora, vamos expressar os vetores em termos de e :
Então, os vetores e são os geradores de .

Passo 3

Parte (b):
Aqui temos duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da equação (2), temos . Substituindo na equação (1):
Agora, expressamos os vetores em termos de :
Portanto, o vetor é o gerador de .

Passo 4

Parte ©:
Vamos reorganizar a equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, vamos resolver para :
Agora, expressamos os vetores em termos de e :
Então, os vetores e são os geradores de .

Passo 5

Parte (d):
Queremos encontrar os vetores que estão tanto em quanto em . Ou seja, devem satisfazer as condições de ambas as partes (a) e (b).
De :
De :
Como e , temos:
Então, e .
Logo, o único vetor que está na interseção é , o vetor nulo.

Passo 6

Parte (e):
Queremos encontrar todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
Sabemos que:
Então, um vetor em é da forma:
Vamos somar os vetores:
Isso nos mostra que é todo , já que conseguimos obter qualquer combinação linear dos três vetores que formam uma base.

Resposta

(a) Os geradores de são e .
(b) O gerador de é .
© Os geradores de são e .
(d) A interseção contém apenas o vetor nulo .
(e) A soma é todo o espaço .

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Resolva a equação utilizando um fator integrante apropriado.
Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
(d)
Encontre um fator integrante e a solução da equação .
Resolva a equação de Riccati .