Encontre os geradores para os seguintes subespaços de
:
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar os geradores de alguns subespaços de
. Isso envolve entender o que define cada subespaço e descobrir uma base para eles, ou seja, um conjunto de vetores que gera todo o subespaço. Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e resolução de equações.
Passo 2
Parte (a):
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que
. Não há restrições para
, então ele pode ser qualquer número real.
Isso nos dá:
Agora, vamos expressar os vetores em termos de
e
:
Então, os vetores
e
são os geradores de
.
Passo 3
Parte (b):
Aqui temos duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da equação (2), temos
. Substituindo na equação (1):
Agora, expressamos os vetores em termos de
:
Portanto, o vetor
é o gerador de
.
Passo 4
Parte ©:
Vamos reorganizar a equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, vamos resolver para
:
Agora, expressamos os vetores em termos de
e
:
Então, os vetores
e
são os geradores de
.
Passo 5
Parte (d):
Queremos encontrar os vetores que estão tanto em
quanto em
. Ou seja, devem satisfazer as condições de ambas as partes (a) e (b).
De
:
De
:
Como
e
, temos:
Então,
e
.
Logo, o único vetor que está na interseção é
, o vetor nulo.
Passo 6
Parte (e):
Queremos encontrar todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
Sabemos que:
Então, um vetor em
é da forma:
Vamos somar os vetores:
Isso nos mostra que
é todo
, já que conseguimos obter qualquer combinação linear dos três vetores que formam uma base.
Resposta
(a) Os geradores de
são
e
.
(b) O gerador de
é
.
© Os geradores de
são
e
.
(d) A interseção
contém apenas o vetor nulo
.
(e) A soma
é todo o espaço
.