Resolva a equação (y^3-x) d x+(3 x y^2-2) d y=0 utilizando um fator integrante apropriado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial . Nosso objetivo é resolver essa equação usando um fator integrante. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como aplicar um fator integrante para torná-las exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação da forma é exata se .
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 3

Calculando partial Mpartial y = 3y^2 :
partial Npartial x = 3y^2
Calculando :
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação já é exata, podemos encontrar uma função potencial partial Phipartial x = M(x,y) e partial Phipartial y = N(x,y) tal que:
Phi(x,y) = integral (y^3 - x) dx = y^3x - x^22 + h(y)
Vamos integrar em relação a :
onde é uma função de que vamos determinar.

Passo 5

Agora, derivamos partial Phipartial y = 3y^2x + h'(y) = 3x y^2 - 2 em relação a 3y^2x + h'(y) = 3x y^2 - 2 e igualamos a h'(y) = -2 :
h(y) = -2y + C
Comparando os dois lados:
Isso implica que:
Integrando em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo Phi(x,y) = y^3x - x^22 - 2y + C na função y^3x - x^22 - 2y = C :
A solução geral da equação diferencial exata é dada por . Portanto:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^3x - x^22 - 2y = C
onde é uma constante arbitrária.

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