Resolva a equação
utilizando um fator integrante apropriado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
. Nosso objetivo é resolver essa equação usando um fator integrante. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como aplicar um fator integrante para torná-las exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação da forma
é exata se
.
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação já é exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
onde
é uma função de
que vamos determinar.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os dois lados:
Isso implica que:
Integrando
em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
na função
:
A solução geral da equação diferencial exata é dada por
. Portanto:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.