Resolva a equação de Riccati
.
Passo 1
Então, temos a equação de Riccati
. Vamos resolver essa equação passo a passo. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações de Riccati e como transformá-las em equações diferenciais mais simples para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação de Riccati tem a forma geral
. No nosso caso,
,
e
. Para resolver essa equação, podemos usar uma substituição que transforma a equação de Riccati em uma equação diferencial linear de segunda ordem.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
, onde
é uma nova função de
. Derivando
em relação a
, temos:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Cancelando termos semelhantes:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem:
. Essa é uma forma da equação de Airy, cuja solução geral é dada por combinações das funções de Airy
e
. Assim, a solução geral para
é:
onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Finalmente, voltamos à substituição feita inicialmente
. Substituindo a solução de
:
Resposta
A solução geral da equação de Riccati é:
Onde
e
são constantes de integração, e
e
são as funções de Airy.
Exercícios relacionados
Encontre um fator integrante e a solução da equação
.
Encontre os geradores para os seguintes subespaços de
:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Encontre a solução geral da equação de Riccati
.
Encontre a solução particular da equação de Riccati
dada uma condição inicial.