Resolva a equação de Riccati d yd x=y^2+x.

Passo 1

Então, temos a equação de Riccati . Vamos resolver essa equação passo a passo. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações de Riccati e como transformá-las em equações diferenciais mais simples para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação de Riccati tem a forma geral . No nosso caso, , e . Para resolver essa equação, podemos usar uma substituição que transforma a equação de Riccati em uma equação diferencial linear de segunda ordem.

Passo 3

Vamos fazer a substituição y' = -u''u - (u')^2u^2 , onde -u''u - (u')^2u^2 = (-u'u)^2 + x é uma nova função de -u''u + (u')^2u^2 = (u')^2u^2 + x . Derivando -u''u = x em relação a u'' + x u = 0 , temos:
Substituindo e na equação original:
Simplificando:
Cancelando termos semelhantes:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem: u(x) = C1 Ai(-x) + C2 Bi(-x) . Essa é uma forma da equação de Airy, cuja solução geral é dada por combinações das funções de Airy e . Assim, a solução geral para é:
onde e são constantes de integração.

Passo 5

Finalmente, voltamos à substituição feita inicialmente y(x) = -C1 Ai'(-x) + C2 Bi'(-x)C1 Ai(-x) + C2 Bi(-x) . Substituindo a solução de :

Resposta

A solução geral da equação de Riccati é:
y(x) = -C1 Ai'(-x) + C2 Bi'(-x)C1 Ai(-x) + C2 Bi(-x)
Onde e são constantes de integração, e e são as funções de Airy.

Exercícios relacionados