Resolva a equação de Riccati .

Passo 1

Então, temos a equação de Riccati . Vamos resolver essa equação passo a passo. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações de Riccati e como transformá-las em equações diferenciais mais simples para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação de Riccati tem a forma geral . No nosso caso, , e . Para resolver essa equação, podemos usar uma substituição que transforma a equação de Riccati em uma equação diferencial linear de segunda ordem.

Passo 3

Vamos fazer a substituição , onde é uma nova função de . Derivando em relação a , temos:
Substituindo e na equação original:
Simplificando:
Cancelando termos semelhantes:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem: . Essa é uma forma da equação de Airy, cuja solução geral é dada por combinações das funções de Airy e . Assim, a solução geral para é:
onde e são constantes de integração.

Passo 5

Finalmente, voltamos à substituição feita inicialmente . Substituindo a solução de :

Resposta

A solução geral da equação de Riccati é:
Onde e são constantes de integração, e e são as funções de Airy.

Exercícios relacionados

Encontre um fator integrante e a solução da equação .
Encontre os geradores para os seguintes subespaços de :
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
Encontre a solução geral da equação de Riccati .
Encontre a solução particular da equação de Riccati dada uma condição inicial.