Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) que nos foi dado:
Neste exercício, vamos utilizar conceitos de Equações Diferenciais e, mais especificamente, Equações Separáveis. Precisaremos saber como separar as variáveis e integrar para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para separar as variáveis
e
. A equação dada é:
Para separar, multiplicamos ambos os lados por
e
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar em relação a
do lado esquerdo e em relação a
do lado direito:
Passo 4
Realizando as integrações:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para simplificar, multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos renomear
como
para simplificar a notação:
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Passo 7
Substituímos o valor de
de volta na equação:
Para encontrar
, isolamos a variável:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Modele e resolva os problemas abaixo.
Uma bola de naftalina evapora, de modo que o volume diminui com uma taxa proporcional à raiz cúbica do volume elevado ao quadrado. Sendo a constante de proporcionalidade e
o volume inicial da bola, determine o volume
ao longo do tempo. Após quanto tempo a bola terá evaporado por completo?
Uma bola de naftalina evapora, de modo que o volume diminui com uma taxa proporcional à raiz cúbica do volume elevado ao quadrado. Sendo
Encontre fatores integrantes para cada equação diferencial abaixo e resolva.
.
Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
.
Determine a derivada de
, utilizando a q)