Resolva cada uma dos PVIs seguintes:

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) que nos foi dado:
Neste exercício, vamos utilizar conceitos de Equações Diferenciais e, mais especificamente, Equações Separáveis. Precisaremos saber como separar as variáveis e integrar para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para separar as variáveis e . A equação dada é:
Para separar, multiplicamos ambos os lados por e :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar em relação a do lado esquerdo e em relação a do lado direito:

Passo 4

Realizando as integrações:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para simplificar, multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos renomear como para simplificar a notação:

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Passo 7

Substituímos o valor de de volta na equação:
Para encontrar , isolamos a variável:

Resposta

A solução do PVI é:

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Modele e resolva os problemas abaixo.
Uma bola de naftalina evapora, de modo que o volume diminui com uma taxa proporcional à raiz cúbica do volume elevado ao quadrado. Sendo a constante de proporcionalidade e o volume inicial da bola, determine o volume ao longo do tempo. Após quanto tempo a bola terá evaporado por completo?
Encontre fatores integrantes para cada equação diferencial abaixo e resolva.
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Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
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Determine a derivada de , utilizando a q)