Encontre fatores integrantes para cada equação diferencial abaixo e resolva.
(t^2 + y^2) dt + 3ty dy = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial da forma . Nosso objetivo é encontrar fatores integrantes para essa equação e resolvê-la. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes, que ajudam a tornar uma equação não exata, exata, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e .
Temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que depende apenas de para tornar a equação exata. A condição para é:
Substituindo os valores que já temos:
Perceba que essa expressão ainda depende de , o que complica. Então, vamos tentar um fator integrante que dependa apenas de .

Passo 5

Assumindo que depende só de , a condição para exatidão fica:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando ambos os lados para resolver para :
Podemos simplificar, assumindo :

Passo 6

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :

Passo 7

Agora, a equação multiplicada pelo fator integrante deve ser exata. Vamos verificar novamente as derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
Como , a equação é exata.

Passo 8

Agora, vamos encontrar uma função tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Igualando a :
Integrando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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