Encontre fatores integrantes para cada equação diferencial abaixo e resolva.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial da forma
. Nosso objetivo é encontrar fatores integrantes para essa equação e resolvê-la. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes, que ajudam a tornar uma equação não exata, exata, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
.
Temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
que depende apenas de
para tornar a equação exata. A condição para
é:
Substituindo os valores que já temos:
Perceba que essa expressão ainda depende de
, o que complica. Então, vamos tentar um fator integrante que dependa apenas de
.
Passo 5
Assumindo que
depende só de
, a condição para exatidão fica:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando ambos os lados para resolver para
:
Podemos simplificar, assumindo
:
Passo 6
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Passo 7
Agora, a equação multiplicada pelo fator integrante deve ser exata. Vamos verificar novamente as derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
Como
, a equação é exata.
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando a
:
Integrando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.