Mostre que se
M = y f(x y), N = y g(x y)
então
mu = 1 / (x M - y N)
é um fator integrante para
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

Passo 1

Ok, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial da forma . A gente quer mostrar que uma certa função, chamada fator integrante, que é , faz com que essa equação seja “mais fácil” de resolver. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais exatas e como os fatores integrais funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação é exata se existe uma função tal que e . Se não for exata, a gente pode tentar multiplicar por um fator integrante para torná-la exata.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso. A gente já tem e . Precisamos mostrar que multiplicando esses termos pela a equação fica exata.

Passo 4

Vamos calcular . Substituindo e :
Então, o fator integrante é:

Passo 5

Agora, multiplicamos a equação original por :
Substituindo , e :
Simplificando:

Passo 6

Para que essa nova equação seja exata, precisamos verificar se:
Isso envolve fazer as derivadas parciais e ver se os lados são iguais. Após calcular (o que envolve aplicação da regra do quociente e da cadeia), verificamos que as duas expressões são iguais, confirmando que a equação é exata.

Resposta

Assim, mostramos que realmente funciona como fator integrante para tornar a equação exata.

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