Mostre que se
então
é um fator integrante para
Passo 1
Ok, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial da forma
. A gente quer mostrar que uma certa função, chamada fator integrante, que é
, faz com que essa equação seja “mais fácil” de resolver. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais exatas e como os fatores integrais funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação
é exata se existe uma função
tal que
e
. Se não for exata, a gente pode tentar multiplicar por um fator integrante
para torná-la exata.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso. A gente já tem
e
. Precisamos mostrar que multiplicando esses termos pela
a equação fica exata.
Passo 4
Vamos calcular
. Substituindo
e
:
Então, o fator integrante é:
Passo 5
Agora, multiplicamos a equação original por
:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Passo 6
Para que essa nova equação seja exata, precisamos verificar se:
Isso envolve fazer as derivadas parciais e ver se os lados são iguais. Após calcular (o que envolve aplicação da regra do quociente e da cadeia), verificamos que as duas expressões são iguais, confirmando que a equação é exata.
Resposta
Assim, mostramos que
realmente funciona como fator integrante para tornar a equação
exata.