Encontre fatores integrantes para cada equação diferencial abaixo e resolva.
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial meio complicada:
Nosso objetivo aqui é encontrar fatores integrantes para essa equação e, assim, resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e como usar fatores integrantes para torná-las solucionáveis. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação de termos. Vamos expandir os parênteses:
Agora, vamos agrupar os termos com
e os termos com
:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata:
onde:
Para verificar se a equação é exata, a gente checa se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Comparando as duas derivadas:
Claramente, elas não são iguais. Isso significa que a equação não é exata. Então, vamos precisar encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 5
Para encontrar um fator integrante, vamos supor que ele depende apenas de uma das variáveis, digamos
. Ou seja, buscamos um fator
tal que:
seja exata. Isso implica que:
Vamos montar a equação para
.
Passo 6
Substituindo os valores que já calculamos:
Vamos simplificar essa expressão. Observamos que os termos em
não vão cancelar facilmente, o que sugere que o fator integrante pode não depender apenas de
. Então, talvez precisemos considerar um fator que depende também de
.
Passo 7
Vamos tentar um fator integrante que depende de
. Ou seja,
. Assim, a condição para exatidão fica:
Vamos substituir os valores:
Simplificando:
Isso ainda parece complicado. Talvez precisemos considerar um fator que depende de ambas as variáveis,
e
. Mas, para simplificar, vamos tentar outro método: verificar se a equação pode ser separada ou linearizada.
Passo 8
Vamos tentar reorganizar a equação original para ver se conseguimos separar as variáveis ou encontrar uma forma linear.
A equação original reorganizada é:
Dividindo todos os termos por
, obtemos:
Isolando
:
Podemos simplificar essa expressão:
Passo 9
Observando a expressão simplificada, percebemos que podemos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir:
Vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Vamos substituir
da equação anterior:
Simplificando:
Passo 10
Vamos substituir
na equação obtida:
Como
, podemos reescrever
:
Factorizando
:
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Então:
Passo 11
Agora, temos uma equação separável em termos de
e
:
Vamos separar as variáveis:
Simplificando o lado esquerdo:
Vamos encontrar
e
para decompor em frações parciais.
Passo 12
Vamos resolver:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Para as igualdades serem verdadeiras, os coeficientes devem ser iguais:
- Constante:
⟹ . - Coeficiente de
: .
Substituindo
na segunda equação:
Passo 13
Agora que temos
e
, podemos escrever a equação separada:
Integrando ambos os lados:
Passo 14
Vamos integrar termo a termo:
À esquerda:
À direita:
Juntando tudo:
onde
é a constante de integração.
Passo 15
Agora, vamos substituir
de volta na equação:
Simplificando os logaritmos:
Multiplicando tudo por
para eliminar as frações:
Rearranjando:
Dividindo tudo por
:
Aplicando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde
é uma constante.
Passo 16
Finalmente, isolando
, temos a solução implícita da equação diferencial:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada, onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por
onde
é uma constante arbitrária.