Encontre fatores integrantes para cada equação diferencial abaixo e resolva.
t dy - y dt + t^2 y^4 (t dy + y dt) = 0.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial meio complicada:
Nosso objetivo aqui é encontrar fatores integrantes para essa equação e, assim, resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e como usar fatores integrantes para torná-las solucionáveis. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação de termos. Vamos expandir os parênteses:
Agora, vamos agrupar os termos com e os termos com :

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial exata:
onde:
Para verificar se a equação é exata, a gente checa se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :
Calculando :
Comparando as duas derivadas:
Claramente, elas não são iguais. Isso significa que a equação não é exata. Então, vamos precisar encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 5

Para encontrar um fator integrante, vamos supor que ele depende apenas de uma das variáveis, digamos t. Ou seja, buscamos um fator tal que:
seja exata. Isso implica que:
Vamos montar a equação para .

Passo 6

Substituindo os valores que já calculamos:
Vamos simplificar essa expressão. Observamos que os termos em y não vão cancelar facilmente, o que sugere que o fator integrante pode não depender apenas de t. Então, talvez precisemos considerar um fator que depende também de y.

Passo 7

Vamos tentar um fator integrante que depende de y. Ou seja, mu(y). Assim, a condição para exatidão fica:
Vamos substituir os valores:
Simplificando:
Isso ainda parece complicado. Talvez precisemos considerar um fator que depende de ambas as variáveis, t e y. Mas, para simplificar, vamos tentar outro método: verificar se a equação pode ser separada ou linearizada.

Passo 8

Vamos tentar reorganizar a equação original para ver se conseguimos separar as variáveis ou encontrar uma forma linear.
A equação original reorganizada é:
Dividindo todos os termos por , obtemos:
Isolando :
Podemos simplificar essa expressão:

Passo 9

Observando a expressão simplificada, percebemos que podemos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir:
Vamos encontrar a derivada de u em relação a t:
Vamos substituir da equação anterior:
Simplificando:

Passo 10

Vamos substituir na equação obtida:
Como , podemos reescrever :
Factorizando :
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Então:

Passo 11

Agora, temos uma equação separável em termos de u e t:
Vamos separar as variáveis:
Simplificando o lado esquerdo:
Vamos encontrar A e B para decompor em frações parciais.

Passo 12

Vamos resolver:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Agrupando os termos:
Para as igualdades serem verdadeiras, os coeficientes devem ser iguais:
  1. Constante: .
  2. Coeficiente de u: .
Substituindo A na segunda equação:

Passo 13

Agora que temos e , podemos escrever a equação separada:
Integrando ambos os lados:

Passo 14

Vamos integrar termo a termo:
À esquerda:
À direita:
Juntando tudo:
onde é a constante de integração.

Passo 15

Agora, vamos substituir de volta na equação:
Simplificando os logaritmos:
Multiplicando tudo por para eliminar as frações:
Rearranjando:
Dividindo tudo por :
Aplicando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde é uma constante.

Passo 16

Finalmente, isolando y, temos a solução implícita da equação diferencial:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada, onde K é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por
onde K é uma constante arbitrária.

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