Escreva cada equação na forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, e resolva as equações que são exatas: y' = (x - y) / (x + y)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente tem uma equação diferencial que é . Nosso objetivo é reescrever essa equação na forma e, depois, resolver essas equações exatas. Para isso, vamos precisar entender como manipular equações diferenciais e identificar se elas são exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada na forma . Sabemos que , então podemos rearranjar a equação assim:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Agora, trazendo tudo para um lado da equação:
Então, identificamos que:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se satisfaz a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Calculando :
Calculando :
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar .
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Então, a função fica:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

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