Escreva cada equação na forma
, e resolva as equações que são exatas:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente tem uma equação diferencial que é
. Nosso objetivo é reescrever essa equação na forma
e, depois, resolver essas equações exatas. Para isso, vamos precisar entender como manipular equações diferenciais e identificar se elas são exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada na forma
. Sabemos que
, então podemos rearranjar a equação assim:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, trazendo tudo para um lado da equação:
Então, identificamos que:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação
é exata se satisfaz a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
.
Primeiro, integramos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Integrando
em relação a
:
Então, a função
fica:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.