Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
.
Passo 1
Resumo do Exercício:
Temos a equação diferencial
Temos a equação diferencial
e um fator integrante fornecido
. Vamos usar o método dos fatores integrantes para transformar essa equação em uma equação exata e, assim, encontrar sua solução. Para isso, precisamos entender o que são fatores integrantes e equações exatas.
Passo 2
Rearranjando a Equação:
Primeiro, vamos organizar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os demais termos do outro lado. Assim:
Primeiro, vamos organizar a equação de forma que todos os termos com
Podemos fatorar
:
Passo 3
Forma Padrão da Equação Diferencial:
Queremos expressar a equação na forma
Queremos expressar a equação na forma
Para isso, reescrevemos a equação:
Aqui, identificamos:
Passo 4
Verificando se a Equação é Exata:
Uma equação é exata se
Uma equação é exata se
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 5
Aplicando o Fator Integrante:
Nos foi dado o fator integrante . Multiplicamos todos os termos da equação original por
:
Nos foi dado o fator integrante
Simplificando:
Passo 6
Verificando a Exatidão Novamente:
Após aplicar o fator integrante, verificamos se a nova equação é exata:
Após aplicar o fator integrante, verificamos se a nova equação é exata:
Calculamos as derivadas parciais:
Observamos que
Portanto, a equação agora é exata.
Passo 7
Encontrando a Função Potencial
:
Sabemos que
Sabemos que
Integrando
em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 8
Determinação de
:
Derivamos em relação a
e igualamos a
:
Derivamos
Igualando os termos:
Simplificando:
Portanto,
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante de integração.