Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
3 t y + 2 t^2 y' = 6 y^3 + 12 t y^2 y' mu = t y.

Passo 1

Resumo do Exercício:
Temos a equação diferencial
e um fator integrante fornecido . Vamos usar o método dos fatores integrantes para transformar essa equação em uma equação exata e, assim, encontrar sua solução. Para isso, precisamos entender o que são fatores integrantes e equações exatas.

Passo 2

Rearranjando a Equação:
Primeiro, vamos organizar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os demais termos do outro lado. Assim:
Podemos fatorar :

Passo 3

Forma Padrão da Equação Diferencial:
Queremos expressar a equação na forma
Para isso, reescrevemos a equação:
Aqui, identificamos:

Passo 4

Verificando se a Equação é Exata:
Uma equação é exata se
Calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 5

Aplicando o Fator Integrante:
Nos foi dado o fator integrante . Multiplicamos todos os termos da equação original por :
Simplificando:

Passo 6

Verificando a Exatidão Novamente:
Após aplicar o fator integrante, verificamos se a nova equação é exata:
Calculamos as derivadas parciais:
Observamos que
Portanto, a equação agora é exata.

Passo 7

Encontrando a Função Potencial :
Sabemos que
Integrando em relação a :
onde é uma função que depende apenas de .

Passo 8

Determinação de :
Derivamos em relação a e igualamos a :
Igualando os termos:
Simplificando:
Portanto, é uma constante, que podemos chamar de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde é uma constante de integração.

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