Resolva os problemas abaixo: x y' + 3 y = x^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante e entender como aplicar a regra de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por (desde que ):
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :
Simplificando a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Como estamos trabalhando com , podemos escrever:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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