Resolva os problemas abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante e entender como aplicar a regra de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por
(desde que
):
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Simplificando a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Como estamos trabalhando com
, podemos escrever:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.