Escreva cada equação na forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, e resolva as equações que são exatas: d y/d x = (x - y cos(x)) / (sin(x) + y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que precisa ser escrita na forma e verificar se ela é exata para então resolvê-la. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais exatas, que nos permitem encontrar soluções através de potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
Podemos rearranjar para deixar tudo igual a zero:
Dessa forma, temos:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a :
Vamos calcular:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Com a equação exata, sabemos que existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Resolvendo para :
Percebi um erro aqui! Na verdade, ao derivar em relação a :
Então,
Isso não faz sentido porque deve depender apenas de . Voltemos e revisemos.

Passo 6

Vamos corrigir. Ao derivar corretamente:
Agora, isolando :
Novamente, vemos que depende de , o que não deveria acontecer. Isso indica que houve um erro na etapa anterior. Vamos verificar.

Passo 7

Na verdade, ao integrar em relação a :
Agora, derivando com relação a :
Agora, isolando :
Integrando :

Passo 8

Agora, temos a função potencial completa:
A solução geral é , então:

Resposta

A solução da equação diferencial exata é:

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