Escreva cada equação na forma
, e resolva as equações que são exatas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que precisa ser escrita na forma
e verificar se ela é exata para então resolvê-la. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais exatas, que nos permitem encontrar soluções através de potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
Podemos rearranjar para deixar tudo igual a zero:
Dessa forma, temos:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
:
Vamos calcular:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Com a equação exata, sabemos que existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Resolvendo para
:
Percebi um erro aqui! Na verdade, ao derivar
em relação a
:
Então,
Isso não faz sentido porque
deve depender apenas de
. Voltemos e revisemos.
Passo 6
Vamos corrigir. Ao derivar
corretamente:
Agora, isolando
:
Novamente, vemos que
depende de
, o que não deveria acontecer. Isso indica que houve um erro na etapa anterior. Vamos verificar.
Passo 7
Na verdade, ao integrar
em relação a
:
Agora, derivando com relação a
:
Agora, isolando
:
Integrando
:
Passo 8
Agora, temos a função potencial completa:
A solução geral é
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial exata é: