Verifique a fórmula do Teorema de Stokes calculando a integral de linha e a integral dupla. Suponha que a superfície tenha orientação para cima.
F(x, y, z) = x i + y j + z k, onde sigma é o hemisfério superior z = raiz(a^2 - x^2 - y^2).

Passo 1

Beleza, então vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa verificar o Teorema de Stokes calculando duas coisas: a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) = x i + y j + z k ao redor da curva limite da superfície, e a integral dupla do rotacional desse campo sobre a superfície do hemisfério superior definido por z = raiz(a^2 - x^2 - y^2). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de linha, encontrar o rotacional de um campo vetorial e calcular integrais duplas em coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva limite C da superfície sigma. Como estamos lidando com o hemisfério superior z = raiz(a^2 - x^2 - y^2), a curva C é a interseção desse hemisfério com o plano z = 0. Isso acontece quando z = 0, ou seja, , o que nos dá x^2 + y^2 = a^2. Portanto, C é o círculo de raio a no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de linha . Para isso, precisamos parametrizar a curva C. Uma parametrização conveniente para um círculo de raio a no plano xy é:
Derivando em relação a t, temos:
O campo vetorial F na curva C fica:
Agora, a integral de linha fica:
Portanto, a integral de linha é zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional de F, que é a derivada cruzada do campo vetorial:
Calculando o determinante, temos:
Então, o rotacional de F é o vetor nulo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral dupla . Como o rotacional de F é zero, fica claro que:
Independentemente da superfície sigma, se o rotacional de F for zero, a integral dupla também será zero.

Passo 6

Finalmente, vamos comparar os resultados obtidos. A integral de linha ao redor da curva C foi calculada como zero, e a integral dupla do rotacional de F sobre a superfície sigma também foi encontrada como zero. Portanto, ambos os lados do Teorema de Stokes são iguais, confirmando que o teorema está válido para esse caso específico.

Resposta

A integral de linha e a integral dupla calculadas são ambas iguais a zero, confirmando a validade do Teorema de Stokes para o campo vetorial dado e a superfície do hemisfério superior.

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