Verifique a fórmula do Teorema de Stokes calculando a integral de linha e a integral dupla. Suponha que a superfície tenha orientação para cima.
, onde é o hemisfério superior .

Passo 1

Beleza, então vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa verificar o Teorema de Stokes calculando duas coisas: a integral de linha do campo vetorial ao redor da curva limite da superfície, e a integral dupla do rotacional desse campo sobre a superfície do hemisfério superior definido por . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de linha, encontrar o rotacional de um campo vetorial e calcular integrais duplas em coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva limite da superfície . Como estamos lidando com o hemisfério superior , a curva é a interseção desse hemisfério com o plano . Isso acontece quando , ou seja, , o que nos dá . Portanto, é o círculo de raio no plano .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de linha . Para isso, precisamos parametrizar a curva . Uma parametrização conveniente para um círculo de raio no plano é:
Derivando em relação a , temos:
O campo vetorial na curva fica:
Agora, a integral de linha fica:
Portanto, a integral de linha é zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional de , que é a derivada cruzada do campo vetorial:
Calculando o determinante, temos:
Então, o rotacional de é o vetor nulo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral dupla . Como o rotacional de é zero, fica claro que:
Independentemente da superfície , se o rotacional de for zero, a integral dupla também será zero.

Passo 6

Finalmente, vamos comparar os resultados obtidos. A integral de linha ao redor da curva foi calculada como zero, e a integral dupla do rotacional de sobre a superfície também foi encontrada como zero. Portanto, ambos os lados do Teorema de Stokes são iguais, confirmando que o teorema está válido para esse caso específico.

Resposta

A integral de linha e a integral dupla calculadas são ambas iguais a zero, confirmando a validade do Teorema de Stokes para o campo vetorial dado e a superfície do hemisfério superior.

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