Encontre o fluxo do campo vetorial F através da superfície S na direção dada por um campo dos vetores normais n :
integral duplaS F cdot n d S
F=(x, z,-y), S: x^2+y^2+z^2=R^2, a parte superior, n é para cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o fluxo do campo vetorial F = (x, z, -y) através da superfície S, que é a parte superior da esfera x^2+y^2+z^2=R^2. Isso significa que estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com fluxo de campos vetoriais através de superfícies. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência), que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume limitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. É basicamente uma medida de quanta “quilo do campo” atravessa essa superfície. Matematicamente, é dado por:
integral duplaS F cdot n , dS
Onde n é o vetor normal à superfície S.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Gauss. Esse teorema nos diz que o fluxo de F através de uma superfície fechada S é igual à integral da divergência de F sobre o volume V limitado por S:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Mas atenção! Nossa superfície S é apenas a parte superior da esfera, não é fechada. Então, vamos fechar essa superfície adicionando a base do hemisfério, que é o disco D no plano z=0.

Passo 4

Calculamos a divergência de F. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Para F = (x, z, -y), temos:
nabla cdot F = partial xpartial x + partial zpartial y + partial (-y)partial z = 1 + 0 + 0 = 1

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Gauss, o fluxo total através da superfície fechada (hemisfério S mais disco D) é:
integral triplaV nabla cdot F , dV = integral triplaV 1 , dV = Volume de V
Como V é um hemisfério de raio R, seu volume é:
Volume = 23 pi R^3

Passo 6

Agora, o fluxo total através da superfície fechada é a soma do fluxo através do hemisfério S e do disco D:
integral duplaS F cdot n , dS + integral duplaD F cdot n , dS = 23 pi R^3
Mas vamos verificar o fluxo através do disco D. No plano z=0, F = (x, 0, -y) e o vetor normal n para baixo é (0,0,-1). Então:
F cdot n = (x, 0, -y) cdot (0,0,-1) = y
No entanto, como estamos integrando sobre o disco simétrico, o fluxo através de D será zero porque as contribuições positivas e negativas de y se cancelam.

Resposta

Portanto, o fluxo através da superfície S é igual ao fluxo total, que é 23 pi R^3. Ou seja:
integral duplaS F cdot n , dS = 23 pi R^3

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