Encontre o fluxo do campo vetorial
através da superfície
na direção dada por um campo dos vetores normais
:
, a parte superior,
é para cima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é a parte superior da esfera
. Isso significa que estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com fluxo de campos vetoriais através de superfícies. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência), que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume limitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. É basicamente uma medida de quanta “quilo do campo” atravessa essa superfície. Matematicamente, é dado por:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Gauss. Esse teorema nos diz que o fluxo de
através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
:
Mas atenção! Nossa superfície
é apenas a parte superior da esfera, não é fechada. Então, vamos fechar essa superfície adicionando a base do hemisfério, que é o disco
no plano
.
Passo 4
Calculamos a divergência de
. A divergência é dada por:
Para
, temos:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Gauss, o fluxo total através da superfície fechada (hemisfério
mais disco
) é:
Como
é um hemisfério de raio
, seu volume é:
Passo 6
Agora, o fluxo total através da superfície fechada é a soma do fluxo através do hemisfério
e do disco
:
Mas vamos verificar o fluxo através do disco
. No plano
,
e o vetor normal
para baixo é
. Então:
No entanto, como estamos integrando sobre o disco simétrico, o fluxo através de
será zero porque as contribuições positivas e negativas de
se cancelam.
Resposta
Portanto, o fluxo através da superfície
é igual ao fluxo total, que é
. Ou seja:
Exercícios relacionados
Verifique que se o campo esta conservativo, e encontre a integral, justifique.
.
Encontre o fluxo do campo vetorial
através da superfície
na direção dada por um campo dos vetores normais
:
Encontre o fluxo do campo vetorial
através da superfície
na direção dada por um campo dos vetores normais
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