Encontre o fluxo do campo vetorial através da superfície na direção dada por um campo dos vetores normais :
, a parte superior, é para cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a parte superior da esfera . Isso significa que estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com fluxo de campos vetoriais através de superfícies. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência), que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume limitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. É basicamente uma medida de quanta “quilo do campo” atravessa essa superfície. Matematicamente, é dado por:
Onde é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Gauss. Esse teorema nos diz que o fluxo de através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência de sobre o volume limitado por :
Mas atenção! Nossa superfície é apenas a parte superior da esfera, não é fechada. Então, vamos fechar essa superfície adicionando a base do hemisfério, que é o disco no plano .

Passo 4

Calculamos a divergência de . A divergência é dada por:
Para , temos:

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Gauss, o fluxo total através da superfície fechada (hemisfério mais disco ) é:
Como é um hemisfério de raio , seu volume é:

Passo 6

Agora, o fluxo total através da superfície fechada é a soma do fluxo através do hemisfério e do disco :
Mas vamos verificar o fluxo através do disco . No plano , e o vetor normal para baixo é . Então:
No entanto, como estamos integrando sobre o disco simétrico, o fluxo através de será zero porque as contribuições positivas e negativas de se cancelam.

Resposta

Portanto, o fluxo através da superfície é igual ao fluxo total, que é . Ou seja:

Exercícios relacionados

Verifique que se o campo esta conservativo, e encontre a integral, justifique.
.
Encontre o fluxo do campo vetorial através da superfície na direção dada por um campo dos vetores normais :
, a parte no primeiro octante, é para sima.
Encontre o fluxo do campo vetorial através da superfície na direção dada por um campo dos vetores normais :
, o lado lateral, é a exterior.