Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de superfície: . Isso está relacionado ao cálculo de integrais sobre superfícies, especificamente sobre uma parte de uma esfera. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas esféricas e conhecimentos de parametrização de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície sobre a qual vamos integrar. A equação representa uma esfera de raio centrada na origem. As condições , e indicam que vamos trabalhar apenas com o primeiro octante dessa esfera.
Passo 3
Agora, vamos trocar para coordenadas esféricas, que são mais convenientes para integrar sobre uma esfera. Nas coordenadas esféricas, as relações são:
onde phi é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e theta é o ângulo azimutal (medido no plano xy).
Passo 4
A área diferencial dS em coordenadas esféricas é dada por:
dS = a^2 sin phi , dphi , dtheta
E a função que vamos integrar, z^2, em coordenadas esféricas fica:
z^2 = (a cos phi)^2 = a^2 cos^2 phi
Passo 5
Vamos agora determinar os limites de integração. Como estamos no primeiro octante:
0 <= theta <= pi2 e 0 <= phi <= pi2
Isso porque theta varia de 0 a 90 graus no primeiro octante, e o mesmo vale para phi.
Passo 6
Substituindo tudo na integral, temos:
integral dupla z^2 , dS = integral0^pi2 integral0^pi2 a^2 cos^2 phi cdot a^2 sin phi , dphi , dtheta = a^4 integral0^pi2 dtheta integral0^pi2 cos^2 phi sin phi , dphi
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^pi2 cos^2 phi sin phi , dphi
Fazendo a substituição u = cos phi, du = -sin phi , dphi, os limites passam a ser de u=1 a u=0:
-integral1^0 u^2 , du = integral0^1 u^2 , du = [ u^33 ]0^1 = 13