Encontre integrais sobre superfícies:
integral duplasubstackx^2+y^2+z^2=a^2 x >= 0, y >= 0, z >= 0 z^2 d S

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de superfície: integral duplasubstackx^2+y^2+z^2=a^2 x >= 0, y >= 0, z >= 0 z^2 , dS. Isso está relacionado ao cálculo de integrais sobre superfícies, especificamente sobre uma parte de uma esfera. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas esféricas e conhecimentos de parametrização de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície sobre a qual vamos integrar. A equação x^2+y^2+z^2=a^2 representa uma esfera de raio a centrada na origem. As condições x >= 0, y >= 0 e z >= 0 indicam que vamos trabalhar apenas com o primeiro octante dessa esfera.

Passo 3

Agora, vamos trocar para coordenadas esféricas, que são mais convenientes para integrar sobre uma esfera. Nas coordenadas esféricas, as relações são:
x = a sin phi cos theta y = a sin phi sin theta z = a cos phi
onde phi é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e theta é o ângulo azimutal (medido no plano xy).

Passo 4

A área diferencial dS em coordenadas esféricas é dada por:
dS = a^2 sin phi , dphi , dtheta
E a função que vamos integrar, z^2, em coordenadas esféricas fica:
z^2 = (a cos phi)^2 = a^2 cos^2 phi

Passo 5

Vamos agora determinar os limites de integração. Como estamos no primeiro octante:
0 <= theta <= pi2 e 0 <= phi <= pi2
Isso porque theta varia de 0 a 90 graus no primeiro octante, e o mesmo vale para phi.

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:
integral dupla z^2 , dS = integral0^pi2 integral0^pi2 a^2 cos^2 phi cdot a^2 sin phi , dphi , dtheta = a^4 integral0^pi2 dtheta integral0^pi2 cos^2 phi sin phi , dphi

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^pi2 cos^2 phi sin phi , dphi
Fazendo a substituição u = cos phi, du = -sin phi , dphi, os limites passam a ser de u=1 a u=0:
-integral1^0 u^2 , du = integral0^1 u^2 , du = [ u^33 ]0^1 = 13

Passo 8

Agora, resolvemos a integral externa:
integral0^pi2 dtheta = [ theta ]0^pi2 = pi2

Resposta

Multiplicando tudo, temos:
integral dupla z^2 , dS = a^4 cdot pi2 cdot 13 = a^4 pi6

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