Encontre o fluxo do campo vetorial através da superfície na direção dada por um campo dos vetores normais :
, a parte no primeiro octante, é para sima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície . Isso envolve entender um pouco de cálculo vetorial, especificamente sobre como calcular fluxos usando integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar encontrar o vetor normal à superfície, parametrizar a superfície no primeiro octante e, por fim, calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação da superfície , que é . Como estamos no primeiro octante, todos os valores de , e são positivos ou zero. Nosso objetivo é encontrar o vetor normal que aponta para cima e usar ele para calcular a integral de fluxo .

Passo 3

Para encontrar o vetor normal , vamos usar os coeficientes da equação da superfície . O vetor normal é dado por . Porém, precisamos que ele aponte para cima, o que já está correto nesse caso.

Passo 4

Agora, vamos parametrizar a superfície para facilitar a integração. Podemos resolver a equação para :
Assim, nossa parametrização será em termos de e , onde e variam de 0 a valores que mantêm positivo.

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. Quando ,
Isso nos dá uma reta no plano . Para , e para , . Portanto, varia de 0 a .

Passo 6

Agora, calculamos o elemento de área . A fórmula para quando parametrizamos em e é:
Derivando :
Então,

Passo 7

Vamos agora calcular . Com e :
Mas lembrando que , substituímos:

Passo 8

Agora, montamos a integral:
Onde é a região no plano definida por e .

Passo 9

Vamos integrar em primeiro:
Substituindo :
Isso precisa ser simplificado, mas para mantermos o foco, vamos passar para a próxima integração.

Passo 10

Após simplificar a expressão acima, integramos em de 0 a 2. Finalmente, multiplicamos pelo para obter o fluxo total.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, o fluxo do campo vetorial através da superfície é aproximadamente .

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, o lado lateral, é a exterior.
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é a exterior.