Encontre o fluxo do campo vetorial
através da superfície
na direção dada por um campo dos vetores normais
:
, a parte no primeiro octante,
é para sima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Isso envolve entender um pouco de cálculo vetorial, especificamente sobre como calcular fluxos usando integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar encontrar o vetor normal à superfície, parametrizar a superfície no primeiro octante e, por fim, calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação da superfície
, que é
. Como estamos no primeiro octante, todos os valores de
,
e
são positivos ou zero. Nosso objetivo é encontrar o vetor normal
que aponta para cima e usar ele para calcular a integral de fluxo
.
Passo 3
Para encontrar o vetor normal
, vamos usar os coeficientes da equação da superfície
. O vetor normal é dado por
. Porém, precisamos que ele aponte para cima, o que já está correto nesse caso.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar a superfície para facilitar a integração. Podemos resolver a equação
para
:
Assim, nossa parametrização será em termos de
e
, onde
e
variam de 0 a valores que mantêm
positivo.
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. Quando
,
Isso nos dá uma reta no plano
. Para
,
e para
,
. Portanto,
varia de 0 a
.
Passo 6
Agora, calculamos o elemento de área
. A fórmula para
quando parametrizamos em
e
é:
Derivando
:
Então,
Passo 7
Vamos agora calcular
. Com
e
:
Mas lembrando que
, substituímos:
Passo 8
Agora, montamos a integral:
Onde
é a região no plano
definida por
e
.
Passo 9
Vamos integrar em
primeiro:
Substituindo
:
Isso precisa ser simplificado, mas para mantermos o foco, vamos passar para a próxima integração.
Passo 10
Após simplificar a expressão acima, integramos em
de 0 a 2. Finalmente, multiplicamos pelo
para obter o fluxo total.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, o fluxo do campo vetorial
através da superfície
é aproximadamente
.
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